Лекция 6.

§6.1. Трудности классической космологии.

Стройная теория фридмановской космологии (метрика Робертсона-Уокера, нестационарные решения уравнений Эйнштейна + модель горячей Вселенной (первичный нуклеосинтез, объяснение реликтового излучения), подтвержденная обширными астрономическими наблюдениями, довольно быстро столкнулась с рядом трудностей. Коротко говоря, они сводятся к тому, что масштабный фактор Вселенной a(t) увеличивается слишком медленно со временем (как или ), поэтому идя в прошлое малым t должно соответствовать слишком большие a. Парадоксы классической космологии решаются в модели инфляционной Вселенной, в которой предполагается, что на самых ранних стадиях эволюции масштабный фактор рос экспоненциально:

§6.1.1. Проблема горизонта

Реликтовое излучение наблюдается изотропно со всех направлений на небе. После момента рекомбинации ( , с) оно практически не взаимодействует с веществом в расширяющейся Вселенной. Размер горизонта на момент рекомбинации (т.е. соединения элетронов с протонами в атомы водорода при тепературе K) порядка , поэтому участки неба с угловыми размерами оказываются причинно-несвязанными между собой. Так как горизонт растет пропорционально времени, в будущем конечно любые области `` войдут под горизонт''.

Переформулировать проблему горизонта можно в терминах энтропии Вселенной. Современная энтропия сосредоточена в релятивистских частицах (фотонах, нейтрино). Безразмерная энтропия (т.е. в единицах постоянной Больцмана k) для релятивистских частиц (независимо, бозоны это или фермионы) есть (cм. напр. Зельдович и Новиков, Релятивистская Астрофизика, М., Наука, 1967, §8.5). Плотность релятивистских частиц (фотонов+нейтрино ) в современную эпоху , а значит энтропия Вселнной внутри сегодняшнего горизонта

Теперь подсчитаем энтропию Вселнной на самой ранней стадии. Так как удельная энтропия , то энтропия внутри горизонта на радиационно-доминированной стадии

Постоянная Хаббла на стадии доминирования релятивистской плазмы с плотностью энергии ( здесь - постоянная излучения, не путать с масштабным фактором!) определяется из соотношения , где г ГэВ - Планковская масса. Т.о. внутри горизонта в планковскую эпоху

Значит, столь ``горячая'' теперь Вселенная на самых ранних стадиях должна была бы состоять из независимых, причинно-несвязанных областей! Отчего же тогда наблюдаемая картина так однородна и изотропна?

Если же была эпоха, когда масштабный фактор рос экспоненциально, любые изначально причинно-связанные области быстро ``расходились'' на расстояния горизонта ( ). Значит, нет ничего удивительного в том, что эти области на стадии более медленного роста масштабного фактора видны как причинно-несвязанные.

§6.1.1. Проблема плоского мира

Эта проблема состоит в чрезвычайной близости плотности к критической (т.е. ) на самых ранних стадиях эволюции. Вот простое рассуждение. Предположим, что квантовое ``рождение'' мира произошло в момент с. Естественный радиус кривизны - см. Для оценки предположим, что расширение Вселенной все время происходило по степенному закону . К настоящему моменту лет радиус кривизны должен был бы вырасти до размеров ... см !

Проделаем обратные оценки: в настоящее время радиус кривизны см, идя в прошлое к моменту получаем радиус кривизны см, а размер горизонта порядка ====> В эту эпоху Вселенная оказывается плоской c точностью до , или в терминах - с точностью до !!!

К тем же выводам можно придти при более точном рассмотрении. Как объяснить столь точную настройку?

§6.2. Модель инфляционной Вселенной

Основная идея модели инфляционной Вселенной - в планковскую эпоху динамика расширения эффективно определялась некоторым скалярным полем, ``скатывание'' которого из возбужденного состояния в минимум потенциала описывалось уравнением состояния (давление отрицательно!). При таком уравнении состояния масштабный фактор растет экспоненциально со временем, , отрицательное давление эффективно действовует как ``антигравитация'', заставляя Вселенную очень быстро расширяться. Согласно модели, когда первичное скалярное поле скатывается достаточно близко к минимуму потенциала, оно начинает осциллировать вблизи минимума, рождая при этом частицы обычного вещества (лептоны, кварки и их суперсимметричнуе партнеры). Инфляция т.о. закаинчивается, масштабный фактор перестает экспоненциально расти со временем и устанавливается уравнение состояния релятивистских частиц . В дальнейшем расширение Вселенной происходит по инерции, причем из-за действия сил гравитации - с замедлением. Продолжительность стадии инфляции - примерно 70 Хаббловских времен, т.е. около c. При этом масштабный фактор увеличивается с планковских размеров см до см, что решает проблему горизонта, начальная плотность с нужной ( !) точностью оказывается равной 1 (решение проблемы плоскостности). Из-за экспоненциального роста масштабного фактора Начальные квантовые флюктуации уходят за горизонт (который растет медленнее экспоненты), а затем на более поздних стадиях (когда масштабный фактор растет как степень <1 от времени) вновь ``входят'' под горизонт (который растет пропорционалдьно времени с момента начала расширения), уже усиленные расширением, формируя начальный спектр возмущений, необходимых для формирования структур во Вселенной.

Замечание об уравнении состояния :

рассмотрим термодинамическое соотношение (1-й закон термодинамики, закон сохранения энергии). Т.к. при расширении энтропия должна сохраняться, изменение энергии в элементе объема компенсируется работой сил давления:

С учетом находим , т.е. изменения энергии при изменении объема не происходит!

§6.3. Рост малых возмущений

Рост малых начальных возмущений плотности и метрики (гравитационные волны) в расширяющейся Вселенной обусловлен динамическим взаимодействием возмущений с изменяющимся масштабным фактором (параметрический резонанс). Все длины волн изменяются пропорционально масштабному фактору . На радиационно-доминированной стадии расширения (давление ) возмущения с длинами волн меньше горизонта не растут - они представляют собой акустические колебания, амплитуда которых не растет из-за диссипативных процессов. На стадии доминирования вещества (p=0, ) амплитуда возмущений возрастает как масштабный фактор: (Е.М.Лифшиц 1946).

§6.4. Гравитационная (Джинсовская) неустойчивость

Причина возникновения структур во Вселенной - развитие гравитационной неустойчивости из малых возмущений. Грав. неустойчивость была впервые количественно рассмотренна Джинсом в 1902 г. Физическая причина гр. неуст. - гравитационное притяжение. Если на фоне однородной плотности возникает малая флюктуация с характерным размером L, то она будет расти, если гравитационное притяжение ( ) превышает градиент сил давления ( ). По порядку величины равновесие нарушается, когда характерное время развития неустойчивости (время свободного падения ) оказывается меньше времени распространения возмущений в среде, , где - скорость звука. Иными словами, если масштаб возмущений (характерная длина) больше критического (джинсовского) значения, , начинается рост плотности. (Точное значение критической длины волны, полученное Джинсом, на фактор больше этой простой оценки).

Для идеального газа , и . Иногда говорят о Джинсовской массе - количеству вещества, заключенного в объеме с характерным размером :

Произвольное малое возмущение плотности можно всегда разложить в ряд Фурье и следить за поведением отдельных гармоник. Если найдется хотя бы одна гармоника, растущая со временем, это будет свидетельствовать о неустойчивости. Точное решение (Джинс) дает для гармоник с волоновыми векторами

где декремент моды

(отсюда сразу следует точное выражение для Джинсовской длины волны - экспоненциальная неустойчивость развивается для моды с действительным декрементом). Для малых возмущений

где f(x) - некоторая функция координат. Это означает, что неустойчивость (при малых k) развивается экспоненциально с одинаковым характерным временем во всех масштабах, превышающих критический (джинсовскую длину волны).

На стадии радиационно-доминированной плазмы (c - скорость света), и - порядка размера горизонта, т.е. на этой стадии возмущения с длинами волн не возрастают, а представляют собой звуковые колебания. Диссипация этих колебаний происходит из-за фотонной вязкости. Однако возмущения с длиной волны больше горизонта возрастают как квадрат времени . На стадии доминирования вещества (p=0, ) амплитуда возмущений возрастает как масштабный фактор: (Е.М.Лифшиц 1946).

§6.5. Образование крупномасштабной структуры Вселенной

Крупномасштабная структура Вселенной (галактики, скопления галактик, войды (пустоты с размерами 100 Мпк)) возникает из малых возмуущений плотности. Когда контраст плотности становится порядка , возмущение перестает участвовать в космологическом расширении и может образовать грвитационно-связанную систему. Существенно, что нелинейная стадия роста возмущений приводит к преимущественному сжатию вдоль одного из направлений с оразованием уплощенных структур (т.н. ``блины'' Зельдовича). Пересекаясь, блины создают ячеистую структуру. В местах наибольшей плотности образуются скопления галактик. Установлено, что наблюдаемая крупномасштабня структура не могла сформироваться без участи скрытой массы - невидимой материи, которая проявляется только по своему гравитационному взаимодействию. Согласно современным представлениям, для форирования структуры наиболее предпочтительна модель т.н. холодной скрытой массы (CDM) (аксионы, нейтралино). Возможно также, существенную роль играет неравная нулю космологическая постоянная. Более подробно см. в Долгов, Зельдович, Сажин ``Космология рнней Вселенной''.

• About this document ...