next up previous
Next: About this document

Лекция 2.

Излучение. Основы теории переноса излучения.

§2.1. Спектр (1672, Ньютон, видимый свет)

displaymath105

displaymath107

displaymath109

Полезная оценка: Температура 1 эВ tex2html_wrap_inline111 K

§2.2. Макроскопичесике характеристики излучения

а) Поток: Энергия/(Площадь tex2html_wrap_inline113 Время)

Размерность: эрг/см tex2html_wrap_inline115 /c

dA, dt - бесконечно малые элементы tex2html_wrap_inline119

Поток зависит от ориентации площадки!

Закон сохранения энергии для изотропного источника:

displaymath121

откуда

displaymath123

B) Удельная интенсивность (или яркость)

Отельный луч не переносит энергии ==> рассматриваем бесконечно малый элемент телесного угла tex2html_wrap_inline125

Определение: энергия, переносимая через единичную площадку (1) перпендикулярную данному лучу (2) в единице телесного угла (3) в единицу времени (4) в единичном интервале частот (5)

displaymath127

Размерность tex2html_wrap_inline129 : эрг/см tex2html_wrap_inline115 /с/Гц/Стер

С) Полный поток и поток импульса через площадку

Рассматривается поле излучение (лучи со всех направлений) Тогда поток энергии через площадку из телесного угла tex2html_wrap_inline125

displaymath135

tex2html_wrap_inline137 - угол между нормалью к площадке и направлением tex2html_wrap_inline125 (уменьшение видимой площади площадки dA из направления tex2html_wrap_inline125

Т.о.

displaymath145

Замечание: Если tex2html_wrap_inline147 (напр., абсолютно черное тело - равновесное излучение), то полный поток = 0!

ПОТОК ИМПУЛЬСА в единицу времени через ед. площадку = ДАВЛЕНИЕ

Для фотона: tex2html_wrap_inline149 ,

==> [поток имп. через пл. из направления tex2html_wrap_inline125 ] = tex2html_wrap_inline153

А т.к. давление - нормальная компонента потока импульса, то возникает долполнительный фактор tex2html_wrap_inline137 :

displaymath157

D) Плотность энергии излучения

(ед.энергия)/(ед.объем)(ед.интервал частот) tex2html_wrap_inline159

Рассмотрим энергию в цилиндре вдоль луча зрения:

equation81

за время dt объем dV=cdtdA, вся энергия выйдет вдоль данного луча в телесный угол tex2html_wrap_inline125 , т.е.

equation83

Сравнивая, находим

equation85

где tex2html_wrap_inline167 - средняя интенсивность. Для изотропного поля tex2html_wrap_inline169 .

ПРИМЕР: давление излучения в изотропном поле (напр., равновесное изл.)

Возьмем сф. полость с идеально отражающими стенками. Внутри - изотропное поле. Каждый фотон при отражении передает свой импульс дважды:

equation87

Полное давление излучения c учетом изотропии tex2html_wrap_inline171 :

equation89

E) Постоянство уд. интенсивности вдоль луча в пустом пространстве.

(Д-во из з-на сохр. энергии:

displaymath173

и с учетом tex2html_wrap_inline175

displaymath177

Иначе: tex2html_wrap_inline179 вдоль луча, если нет источников доп. изл. и погл.

§2.3. ПЕРЕНОС ИЗЛУЧЕНИЯ

A) Коэффициент излучения

displaymath181

т.е. tex2html_wrap_inline183 эрг/см tex2html_wrap_inline185 /c/стер. Для изотропных излучателей tex2html_wrap_inline187 , tex2html_wrap_inline189 - мощность.

Если нет поглощения, то: за время dt ===> путь ds=cdt, объем dV=cdtdA ===> прибавка к интенсивности tex2html_wrap_inline197 .

B) Коэффициент поглощения

Феноменологически: tex2html_wrap_inline199

tex2html_wrap_inline201 - коэф. поглощения

Иногда вводят tex2html_wrap_inline203 , где tex2html_wrap_inline205 см tex2html_wrap_inline115 /г - коэффициент непрозрачности.

Физ. смысл: рассм. погл. частицы с концентрацией n и сечением tex2html_wrap_inline211 (см tex2html_wrap_inline115 ). Тогда tex2html_wrap_inline215

ЗАМЕЧАНИЕ: коэф. погл. м.б. + или -, т.к. есть вынужденное (индуцированное) излучение, зависящее как и поглощение от падающей интенсивности (пример - лазер)

С) Уравнение переноса

equation91

NB: 1. tex2html_wrap_inline217 зависят от микрофизики и состояния вещества!

2. Если есть рассеяние - все усложняется, рассеяние изменяет траектории фотонов и ур. переноса превр. в интегро-дифф. уравнение, решается как правило численно.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:

С1. Только излучение, tex2html_wrap_inline219 , tex2html_wrap_inline221 ,

displaymath223

C2. Только поглощение, tex2html_wrap_inline225 , tex2html_wrap_inline227

displaymath229

D). ОПТИЧЕСКАЯ ТОЛЩА

Введем tex2html_wrap_inline231 , tex2html_wrap_inline233 вдоль луча (иногда в обратном направлении, тогда появляется знак минус). Если tex2html_wrap_inline235 - оптически толстый случай (среда непрозрачна); если tex2html_wrap_inline237 - оптически тонкий случай (среда прозрачна)

СВЯЗЬ С ДЛИНОЙ СВОБОДНОГО ПРOБЕГА ФОТОНА:

Пусть однородная среда без излучения. У=е переноса tex2html_wrap_inline239 - т.е. вероятность фотону пройти ДЛИНУ tex2html_wrap_inline241 есть tex2html_wrap_inline243 , при этом СРЕДНЯЯ ОПТИЧЕСКАЯ ТОЛЩИНА

displaymath245

Средняя длина свободного пробега опр. из условия tex2html_wrap_inline247 ,

displaymath249

т.е. фактически это обратный коэффициент поглощения!

E) ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА

Уравнение паереноса запишем в виде:

equation93

где tex2html_wrap_inline251 - функция источника (NB - эта ф=я часто находится или вычисляется проще, чем коэфф. излучения!)

ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ У=Я ПЕРЕНОСА

Умножив на интегрирующий мн-тель tex2html_wrap_inline253 , получаем

equation95

Физический смысл: (1-е слагаемое: начальное излучение уменьшилось в e раз из-за поглощения )+ (2-е слагаемое: источник, проинтегрированный вдоль луча зрения с учетом поглощения)

ПРИМЕР:

Е1. Пусть источник S=const ===>

displaymath259

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ: 1) при tex2html_wrap_inline261 tex2html_wrap_inline263 всегда. (Осторожнее! Если есть рассеяние, то в S есть вклад от I! - картина сильно усложняется).

2) Если tex2html_wrap_inline265 , то tex2html_wrap_inline267 , I уменьшается вдоль луча

3) Если tex2html_wrap_inline269 , то tex2html_wrap_inline271 , I возрастает вдоль луча

ИТОГ: Интенсивность ВСЕГДА стремится к ф. источника

Е2: Образование спектральных линий.

§2.4. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

А. Абсолютно черное тело

Излучение АЧТ - термодинамически-равновесное излучение

1). Свойства: Зависит только от температуры Т, Изотропно, неполяризовано, tex2html_wrap_inline273 - функция Планка

2). Закон Кирхгофа (справедлив для любого теплового излучения)

equation97

ЗАМЕЧАНИЕ: Разница между АЧТ и тепловым излучением: для АЧТ tex2html_wrap_inline273 , для теплового излучения tex2html_wrap_inline277 . Излучение, для которого ф=я источника не равна ф. Планка, называется НЕТЕПЛОВЫМ (пример - синхротронное излучение релятивистских электронов в магнитном поле, обратное комптоноваское рассеяние, черенковское излучение и т.д.)

ВЫВОД: Любое тепловое излучение ====> АЧТ в пределе больших оптических толщин.

В. Закон Планка для АЧТ

equation99

Из закона сохранения энергии tex2html_wrap_inline279 и связи tex2html_wrap_inline281

equation101

Предельные случаи и свойства:

1) Закон Рэлея-Джинса: tex2html_wrap_inline283 ,

displaymath285

(не входит постоянная Планка - чисто классическое излучение, tex2html_wrap_inline287 - "ультрафиолетовая катастрофа")

2) Закон Вина, tex2html_wrap_inline289

displaymath291

3) Монотонность с температурой: tex2html_wrap_inline293 на всех tex2html_wrap_inline295 . ==> кривые ф. Планка нигде не пересекаются друг с другом!

4) Закон смещения Вина:

displaymath297

displaymath299

Замечание: tex2html_wrap_inline301 !!!

5) Закон Стефана-Больцмана

Полный поток энергии с площадки, излучающей как АЧТ,

displaymath303

где tex2html_wrap_inline305 эрг/см tex2html_wrap_inline115 /c/град - постоянная Стефана-Больцмана

§2.5. Характеристические температуры астрофизических источников

А) Яркостная температура - температура АЧТ, имеющего интенсивность источника на данной частоте, tex2html_wrap_inline309 . В частном случае радиоволн (RJ-область)

displaymath311

В этом случае уравнение переноса для теплового излучения (S=B!) переписывается через яркостную температуру

displaymath313

где T- температура излучающей области. Если Т=const,

displaymath317

при tex2html_wrap_inline319 , tex2html_wrap_inline321 . Для оптически тонкого газа tex2html_wrap_inline323 ==> tex2html_wrap_inline325

NB: 1. tex2html_wrap_inline327 - функция частоты! 2. Интенсивность АЧТ с т-рой Т - максимально достижимая для любого тела с температурой Т. 3. Для широгкого класса нетепловых спектров введение ярк. темп. не имеет смысла (например, в случае синхротронного излучения со спадающим степенным спектром)

В) Цветовая температура - температура АЧТ, спектр которого в данном частотном диапазоне наиболее хорошо описывает наблюдаемый спектр. Цветовая т-ра верно отражает температуру АЧТ с неизвестными размерами. Также см. замечания к яркостной т-ре.

С) Эффективная температура - температура АЧТ, излучающего в единицу времени с единицы площади во всем диапазоне частот ту же энергию, что и заданное тело.

displaymath329

Пример: связь со светимостью. Если имеется шарообразное тело (например, звезда или планета), излучающая в ед. времени энергию L ([светимость]=эрг/с), то tex2html_wrap_inline333 . Эфф. т-ра Солнца tex2html_wrap_inline335 K.




Postnov K.A.
Sat Mar 15 18:15:17 MSK 1997