\documentstyle[11pt,epsf]{article}
\begin{document}
\begin{center}
{\Large{\bf Затухание магнитного поля и эволюция периода
в объекте RX J0720.4-3125}}

\vskip 0.5cm

С.Б. Попов (Московский государственный университет)\\
Д.Ю. Коненков (Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе), \\

\end{center}

\begin{center}
{\Large{ Краткое содержание}}
\end{center}

Мы рассмотрели возможную эволюцию периода вращения и магнитного
поля рентгеновского источника RX J0720.4-3125 предполагая, что
этот источник является изолированной нейтронной звездой,
аккрецирующей вещество межзвездной среды. Магнитное поле источника
оценивается нами порядка $10^6 - 10^9$ Гс (более вероятное значение
$\approx 2 \cdot 10^8$ Гс), и
без гипотезы о распаде поля трудно объяснить наблюдаемый период
вращения-- 8.38 сек.  Для расчетов мы использовали модель омической
диссипации поля в коре нейтронной звезды. Получены оценки темпа
аккреции ($10^{-14} - 10^{-16} M_\odot/{\rm год}$), скорости движения
источника через межзвездную среду ($10 - 50 $ км/с), возраста
нейтронной звезды ($2\cdot 10^9 - 10^{10}$ лет).

\begin{center}
{\Large{ Abstract}}


RX J0720.4-3125 AS A POSSIBLE EXAMPLE OF THE MAGNETIC FIELD
DECAY IN NEUTRON STARS,\\
{\it by S.B. Popov and D.Yu. Konenkov. }
\end{center}

We studied possible evolution of the rotational period and the magnetic
field of the X-ray source RX J0720.4-3125 assuming this source to be an
isolated neutron star accreting from the interstellar medium.
Magnetic field of the
source is estimated to be $10^6 - 10^9$ Gs (most probably
$\approx 2 \cdot 10^8$ Gs),
and it is difficult to explain observable rotational period--
8.38 s without invoking hypothesis of the magnetic field
decay.  We used the model of ohmic decay of the the crustal magnetic
field. The estimates of accretion rate ($10^{-14} - 10^{-16}
M_\odot/{\rm yr}$), velocity of the source relative to the interstellar
medium ($10 - 50 $ km/s), neutron star age ($2\cdot 10^9 - 10^{10}$
yrs) are obtained.

\newpage

\section{Введение}

 В последнее время особое внимание стали привлекать к себе
изолированные нейтронные звезды (ИНЗ), которые не наблюдаются в
качестве радиопульсаров и практически недоступны для наблюдений
в других диапазонах электромагнитного спектра из-за их малой светимости.
Сама идея наблюдения таких объектов появилась достаточно давно [6],
а в 1991 г. Тревс и
Колпи [8] предположили, что ИНЗ, аккрецирующие вещество из
межзвездной среды (МЗС), могут наблюдаться в УФ и рентгеновском
диапазонах на спутнике $ ROSAT $ . Здесь мы представляем результаты работы,
посвященной объекту RX J0720.4-3125, открытому Хаберлом и др. [12].
RX J0720.4-3125 предположительно является аккрецирующей ИНЗ
с периодом 8.38 сек.

 Существует четыре возможных состояния НЗ в плазме низкой плотности:
Эжектор (Е), Пропеллер (Р), Аккретор (А) и Георотатор (G). Стадия
определяется соотношениями между четыремя характеристическими радиусами:
$ R_l $, радиусом светового цилиндра, $ R_{st} $, радиусом остановки,
$R_G=(\frac {2\, G\, M}{v_\infty ^2})$-- радиусом гравитационного
захвата и $R_{co}=(\frac {G\, M}{\omega ^2})^{1/3}$--радиусом коротации.

 В результате мы имеем два критических периода: $P_E $ и $P_A$,
разделяющих различные стадии НЗ. Если $p<P_E$, то мы имеем Эжектор
(т.е. пульсар, излучающий энергию вращения), если $P_E<p<P_A$, мы имеем
НЗ на стадии Пропеллера, и, если $p>P_A$ и $R_{st}<R_G$ -- Аккретор.
В некоторых случаях возможна ситуация, когда $p>P_A$, но $R_{st}>R_G$
и аккреция невозможна, т.к. образуется геоподобная магнитосфера.

 Для описания эволюции периода удобно ввести т.н. гравимагнитный параметр,
комбинацию величин, часто встречающуюся в эволюционных уравнениях.
 Гравимагнитный параметр, y,  описан в  [4].

 На рис.1 представлены три примера эволюционных треков НЗ, которая
заканчивает свою эволюцию как Аккретор.

 I. $E\longrightarrow P\longrightarrow A$--эволюция НЗ в МЗС постоянной
плотности при отсутствии диссипации магнитного поля.

 II. $E\longrightarrow P\longrightarrow A \longrightarrow P \longrightarrow A$--
эволюция НЗ, проходящей через гигантское молекулярное облако (ГМО) при
отсутствии диссипации магнитного поля.

 III. Эволюция с диссипацией магнитного поля.

Нас особо будет интересовать третий случай.

\newpage



\section{Аналитические оценки параметров пульсара}

В этой части приводятся оценки параметров источника,
невошедшие в работу [3].

Рассмотрим условие равенства Альвеновского радиуса,$R_A$, и
радиуса коротации, $R_{co}$.  Из него мы можем получить период
аккреции:

 \begin{equation}
   P_A\approx 6\cdot10^2\mu_{30}^{6/7}\rho_{-24}^{-3/7}
         v_{\infty_6}^{9/7}\left(\frac {M}{M_{\odot}}\right)^{-11/7}
 сек
 \end{equation}

\noindent
где $\mu_{30}$ -- магнитный дипольный момент в единицах
$10^{30}{\rm Гс \cdot см}^2$, $\rho_{-24}$ -- плотность
МЗС в единицах $10^{-24}{\rm г/см}^3$, $v_{\infty_6}$ --
скорость НЗ относительно МЗС в единицах $10^6 {\rm см/с}$.

При аккреции $p >P_A$. При равенстве этих периодов:

$$
  \mu_{30}^{6/7}=\frac{8.38}{6\cdot 10^2} \rho_{-24}^{3/7}
                 v_{\infty_6}^{-9/7}\left(\frac M{ M_{\odot}}\right)^{11/7}
$$

    Тогда $\mu_{30}=0.007 \rho_{-24}^{1/2}v_{\infty_6}^{-3/2}
    \left(\frac M{ M_{\odot}}\right)^{11/6}$
    при $p=P_A=8.38 \,\, {\rm сек}$ (период RX J0720.4-3125).
    При радиусе нейтронной звезды
$R=10{\rm км}$ имеем $B<7\cdot10^{9}$ Гс.

    Если принять гипотезу об ускорении нейтронной звезды
из турбулизованной межзвездной среды, то мы приходим к
формуле, накладывающей ограничение на магнитное поле [3,5]:

\begin{equation}
P_{eq}=2355 k_t^{1/3}\mu_{30}^{2/3}I_{45}^{1/3}\rho_{-24}^{-2/3}
v_{\infty_6}^{13/3}v_{t_6}^{-2/3}
\left(\frac M{M_{\odot}}\right)^{-8/3}\,\, {\rm сек}
\end{equation}


%$$
% p\approx 3\cdot10^3
%k_t^{1/3} \mu_{30}^{2/3} I_{45}^{1/3} \dot M_{-15}^{-2/3}
%v_{\infty_6}^{7/3} v_{t_6}^{-2/3}
%\left(\frac M{M_{\odot}}\right)^{-4/3}\,\, {\rm сек},
%$$

Здесь
%$M_{1.4}$ -- масса НЗ в единицах $1.4 M_\odot$,
$I_{45}$ -- момент инерции в единицах $10^{45}{\rm г\cdot см}^2$,
%$\dot M_{-15}$-- темп аккреции в единицах $10^{-15}M_\odot/{\rm год}$,
$v_{t_6}$ -- турбулентная скорость в единицах $10^6{\rm см/с}.$

    Отсюда:
$$
  \mu_{30}=\left(\frac{8.38}{2355}\right)^{3/2} k_t^{-1/2}I_{45}^{-1/2}
  \rho_{-24}v_{\infty_6}^{-13/2}v_{t_6}\left(\frac M{M_{\odot}}\right)^4
$$

    Таким образом, $B\approx 2.1\cdot 10^8$ Гс.

 В [3] показано, что поле не может быть меньше $10^6 Гс$,
т.к. иначе не возникнет сам феномен пульсаций.

    Предположим, что нейтронная звезда изначально обладала
периодом порядка 0.01 сек (точное значение
этого начального периода нас не слишком беспокоит, важно только,
что он много меньше 8 секунд, и что изначально звезда
должна находиться на стадии Эжектора). Значит,
необходимо было замедлится до 8.38 сек. Оценим время,
необходимое для такого замедления.

    Время замедления определяется {\it конечным}, а не начальным периодом!

$$
  P_E=10 (k_t)^{1/4} \mu_{30}^{1/2} \rho_{-24}^{-1/4} v_{\infty_6}^{-1/2} сек
$$

$$
  \frac{dI\omega}{dt}=-k_t\frac{\mu^2}{R_l^3},
  \, R_l=c/\omega, \, \omega=2\pi/p
$$

$$
  \frac1{p^2}I\frac{\Delta p}{\Delta t}=k_t\frac{\mu^2(2\pi)^2}{c^3p^3}
$$

    Таким образом, при $\Delta p=p$:

$$
  \Delta t=\frac{Ip^2c^3}{k_t\mu^2(2\pi)^2}=
$$
$$
  =3\cdot 10^7 P_E^2k_t^{-1}\mu_{30}^{-2}I_{45} лет=
$$
$$
  =3\cdot 10^9 k_t^{-1/2}\mu_{30}^{-1}\rho_{-24}^{-1/2}
   v_{\infty_6}^{-1}I_{45} лет
$$

    При $\mu_{30}< 0.01 \,\,\, \Delta t > 3\cdot 10^{11} лет >> t_{Hubble}$.
Т.е. звезда не могла иметь изначально малое поле.


    Поскольку нейтронная звезда находится на стадии аккреции,
ее период должен быть намного больше периода эжекции:

$$
  p>P_{Propeller}>P_E
$$

$P_E\approx 10 сек$ для стандартных параметров,
а значит поле должно быть много меньше стандартного: $B << 10^{12}$ Гс,
чтобы звезда с p=8.38 сек была на стадии аккреции.

    Попытаемся оценить характерное время ускорения и замедления
такой нейтронной звезды:

$$
  t_{su}=t_{sd}=\frac{I\omega}{\dot M v_t R_G}=
$$

$$
  =20 лет \cdot I_{45}v_{\infty_6}^5\rho_{-24}^{-1}
   \left(\frac p{10^5 сек}\right)^{-1}\left(\frac {v_t}{10^6 cм/сек}\right)^{-1}
$$
где $t_{su}, t_{sd}$ - характерные времена изменения периода.

    При p=10 сек $t_{su}=2\cdot 10^5 $ лет. Уменьшение $v_t$ еще
увеличивает это время. Т.о., $\dot p \approx
p/t_{su} < \approx \frac{8.38}{2\cdot 10^5
\cdot 3 \cdot 10^7} \approx 10^{-12} сек/сек$



%\newpage

\begin{figure}
\epsfxsize=12cm
\centerline{\epsfbox{postris1.eps}}
\caption{  $P-y$-диаграмма.}
\end{figure}

\newpage
\begin{figure}
\epsfxsize=10cm
\centerline{\epsfbox{postris2.eps}}
\caption{
 Изменение поверхностного магнитного поля изолированной
нейтронной звезды со временем при стандартном остывании. Кривые 1,
2, 3 соответствуют
начальным глубинам залегания $10^{11}$, $10^{12}$, $10^{13} \
{\rm г/см^3}$. Сплошные кривые соответствуют $Q=0.001$, штриховые
кривые --- $Q=0.01$, штрих-пунктирные кривые --- $Q=0.1$.
}
\end{figure}

\newpage
\begin{figure}
\epsfxsize=12cm
\centerline{\epsfbox{postris3.eps}}
\caption{
Эволюционные треки НЗ для $\dot M =
10^{-15}M_\odot{\rm /год}$ (рис. 3а) и для $\dot M =
10^{-16}M_\odot{\rm /год}$ (рис. 3б). Параметры модели для
каждого трека описаны в тексте.  Точечные линии -- $p=P_E$,
штрих-пунктирные линии -- $p=P_A$.  Для второго трека на рис. 3а
штриховой линией показана эволюция НЗ без учета ускорения в
турбулизованной МЗС. Числа около отметок на треках обозначают
логарифм возраста НЗ, выраженного в годах.  Точками показаны
наблюдаемые радиопульсары.}
 \end{figure}



\newpage

\section{Расчеты затухания магнитного поля}

    Итак, можно с уверенностью сказать, что
имела место диссипация поля, и характерное
время диссипации, $t_d$, было достаточно мало:
$t_d < t_E$ ($t_E$- время жизни Эжектора). Только благодаря этому мы
имеем быстровращающуюся нейтронную звезду на стадии аккреции.
%Свой период звезда "запомнила"
%с момента основного затухания поля.


Мы рассчитали магнитовращательную эволюцию НЗ с массой $M=1.4
M_\odot$ для темпов аккреции $10^{-15}M_\odot {\rm /год}$ и
$10^{-16}M_\odot {\rm /год}$ и при движении через МЗС с
плотностью $\rho=10^{-24}{\rm г/см^3}$.  Таким темпам аккреции
соответствуют скорости движения $\approx 20$ и $\approx 40$ км/с.


Распад магнитного поля в коре нейтронной звезды
исследовался многими авторами (см. [10]).
Аналитическая формула для примесной
проводимости была получена Яковлевым и Урпиным [13], фононную
проводимость мы взяли из работы [2].
Начальное поле считается локализованным в поверхностном слое
некоторой толщины. Плотность вещества $\rho_0$ на внутренней границе
этого слоя является параметром задачи. Величина примесного
параметра, $Q$,
считается не зависящей от глубины.

На рисунке 2 показано уменьшение поверхностного магнитного поля
нейтронной звезды со временем для различных параметров $\rho_0$
и $Q$.  Для расчета использовалась модель нейтронной звезды с
умеренно жестким уравнением состояния Фридмана-Пандхарипанде
[11] в ядре звезды, массой $M=1.4\, M_\odot$, радиусом
$R=10.6\,{\rm км}$ и толщиной коры $\Delta R=940\,{\rm м}.$

Аккреция оказывает влияние на эволюцию поля. Во-первых, она нагревает
кору нейтронной звезды [1], уменьшая тем самым
проводимость.  Во-вторых, возникает поток вещества, направленный
к центру звезды, который стремится перенести поле в более
глубокие слои. Как показывают расчеты [9],
аккреция с темпом $\dot M < 10^{-14}
M_{\odot}{\rm /год}$ незначительно ускоряет распад поля.


На стадии аккретора, поскольку описание ускорения в
турбулизованной МЗС не является простой задачей, для описания
эволюции периода применялась следующая упрощенная модель.
Когда НЗ попадает на стадию аккретора, то
замедляющий момент существенно превосходит момент ускоряющий,
т.к. ускорение происходит в турбулизованной МЗС, и нет
постоянного ускоряющего момента, как в двойной системе. Однако,
можно получить аналог равновесного периода, $P_{eq}$,
который соответствует стационарному решению уравнения
Фоккера-Планка (см. [4],[5]).
Поэтому эволюция периода на этой стадии рассматривалась как
стационарное замедление от $P_A$ до $P_{eq}$, а затем период
полагался равным $P_{eq}$, который, в свою очередь, изменялся за
счет распада магнитного поля.

На рисунке 3 мы показываем эволюционные треки НЗ для темпов
аккреции $10^{-15} M_\odot {\rm /год}$ (рис. 3а) и для
$10^{-16} M_\odot {\rm /год}$ (рис. 3б).

Треки под номером 1 на обеих частях рис. 3 иллюстрируют эволюцию
с максимально возможной скоростью диссипации магнитного поля со
временем.  Для темпа аккреции $10^{-15} M_\odot{\rm /год}$
параметры модели таковы: $\rho_0=3 \cdot 10^{13}{\rm г/см^3}$,
$Q=0.02$, $v_t= 10^6{\rm см/с}$.
Как только $P_{eq}$ становится равным текущему периоду, НЗ
начинает ускоряться турбулизованной МЗС. При этом период
флуктуирует вокруг $P_{eq}$. Здесь мы не оцениваем амплутуду
этих флуктуаций.

Треки под номером 2 иллюстрируют эволюцию с более медленным
распадом поля. Для $\dot
M=10^{-15}M_\odot/$год мы положили $Q=0.01$, значения остальных
параметров остались теми же, что и для первого трека на рис. 3а.
Треки 1 и 2 совпадают на начальной стадии эволюции,
когда скорость диссипации не зависит от концентрации примесей.
Однако через $10^7$ лет треки расходятся. В результате на
стадии эжектора звезда проводит $2\cdot 10^9$ лет, переходя на стадию
пропеллера при $p=3$ cек и $B=4\cdot 10^{10}$ Гс. Замедление на стадии
пропеллера происходит гораздо быстрее, чем в первом случае, по
трем причинам: более длинный период, б\'ольшее значение
магнитного поля во время перехода со стадии эжектора на
стадию пропеллера, и более медленная
скорость распада поля из-за низкого значения параметра $Q$.
На стадии аккретора НЗ замедляется до 190 сек за $2\cdot 10^9$ лет,
и, когда поле распадается до $4 \cdot 10^8$ Гс, может начать
сказываться эффект ускорения в турбулизованной МЗС. Трек при
остутствии такого ускорения ($v_t=0$) показан штриховой линией.
При этом конечный период оказывается порядка 200 cек. Турбулентное
ускорение может уменьшить этот период.

Для $\dot M=10^{-16}M_\odot{\rm /год}$ для первого трека были
выбраны такие параметры: $\rho_0=3 \cdot 10^{13}{\rm г/см^3}$,
$Q=0.01$, $v_t=10^6$ см/с. Переход на стадию пропеллера
происходит через $2.7 \cdot 10^9$ лет при периоде $3.1$ сек и
магнитном поле $2\cdot 10^{10}$ Гс. На стадию аккретора НЗ
переходит с периодом $4.9$ сек и магнитным полем $7\cdot 10^8$ Гс.
Замедления на стадии аккретора не происходит, так как магнитное
поле мало. Время распада поля до $4\cdot 10^8$ Гс составляет
$6 \cdot 10^9$ лет. При этом $p=5$ cек. Второй трек на рис. 3б
был рассчитан для б\'ольшей начальной глубины залегания
токов, соответствующей $\rho_0=6\cdot 10^{13}{\rm г/см^3}$.
Поэтому магнитное поле на начальной стадии распадается медленнее,
стадия эжектора длится $2.1\cdot 10^9$ лет, стадия
пропеллера - $1.9\cdot 10^9$ лет. При поле $4\cdot 10^8$ Гс
период равен $63$ cек.


\newpage

\section{Заключение}

    Наблюдение периодов ИНЗ может стать важным тестом для теорий
затухания магнитного поля НЗ. В таких случаях отсутствуют многие
посторонние эффекты (например, компаньон в двойной системе), что
позволяет рассмотреть затухание в наиболее "чистом" виде.

    Наблюдения источника RX J0720.4-3125 [12] показывают наличие у ИНЗ
периода, который весьма затруднительно объяснить без гипотезы о
затухании магнитного поля. Наличие такого затухания может быть
критичным для оценки общего количества наблюдаемых аккрецирующих ИНЗ.

Наблюдаемые период и температуру рентгеновского источника RX
J0720.4-3125 можно объяснить в рамках гипотезы об аккреции МЗС
на старую ИНЗ. Мы показали, что магнитное поле НЗ в этом случае
мал\'о ($B<10^9$ Гс). При таком магнитном поле время замедления
до $p=8.38$ cек превышает возраст Вселенной. Мы предположили, что
НЗ родилась с более высоким значением магнитного поля, и поле
сильно уменьшилось за время эволюции. Используя модель омической
диссипации магнитного поля в коре НЗ, мы рассчитали возможную
эволюцию НЗ на $B-P$ диаграмме.  Наблюдаемое значение
периода вращения может быть получено при $Q \sim 0.01 - 0.05$.
Однако эволюция периода зависит от
скорости диссипации поля, а, следовательно, и от параметров
модели распада. Так, изменение примесного параметра $Q$ в два
раза привело к изменению периода на стадии аккретора более чем
на порядок (рис. 3а, треки 1 и 2).  Поэтому наблюдения периодов
вращения старых изолированных НЗ могут стать важным тестом для
моделей эволюции магнитного поля нейтронных звезд.

Распад магнитного поля может повлиять на оценку общего
количества наблюдаемых аккрецирующих ИНЗ.  В частности,
поскольку для образования периодического рентгеновского
источника на стадии пропеллера необходимо достаточно сильное
магнитное поле [7], то его затухание может уменьшить
количество подобных источников. Отсутствие же пульсаций у других
кандидатов в ИНЗ может говорить о том, что их поле уже распалось
настолько, что не может каналировать движение плазмы на полюса
ИНЗ.


\newpage

Мы выражаем благодарность Ф. Хаберлу за предоставленную
информацию об источнике, М.Е. Прохорову, Д.Г. Яковлеву,
В.А. Урпину и В.М. Липунову за обсуждение данной работы,а также многим
участникам конференции "The many faces of neutron stars",
где родилась идея этой работы.

Работа Д.К. поддерживалась грантом РФФИ 96-02-16905a,
работа С.П. -- грантами РФФИ 95-02-06053а, INTAS 93-3364,
ISSEP a96-1896.


Замечание: В конце июля 1997 года, после того как данная
работа была завершена и направлена в печать, нам стало известно, что
аналогичные результаты были независимо получены Вангом
(John C.L. Wang, Astrophys. J 1997, V. 486, P. L119). 

\section{Литература}

\noindent
1. {\it Ждуник, Хенсел, Пачинский, Миралда-Эскуде (Zdunik J.L.,
Haensel P., Paczy\'nski B., Miralda-Escude J.)}// Astrophys. J.
1992. V.384. P.129.

\noindent
2. {\it Ито, Хаяши, Кохияма (Itoh N., Hayashi H., Kohyama Y.)}
// Astrophys. J. 1993. V.418. P.405.

\noindent
3. {\it Коненков Д.Ю. и Попов С.Б.}//
 Письма в Астрон. Журн. 1997. Т.23, С. 561

\noindent
4. {\it Липунов В.М.}// {\it Астрофизика нейтронных звезд.},
М.: Наука, 1987.

\noindent
5. {\it Липунов В.М. , Попов С.Б.}//
 Астрон. Журн. 1995. Т.72, С. 711.

\noindent
6. {\it Острайкер, Риис, Силк( J. P.Ostriker, M. J. Rees, J. Silk)}//
 Astrophys. J. Letters 1970. V.6, P.179

\noindent
7. {\it Попов С.Б.}// Астрон. Цирк. 1994. No.1556. C.1.

\noindent
8. {\it Тревс и Колпи (Treves A., Colpi M.)}//
 Astron. and Astrophys., 1991, V. 241, p. 107.

\noindent
9. {\it Урпин В.А., Гепперт У., Коненков Д.Ю.  (Uprin V., Geppert
U., Konenkov D.)}// Astron. and Astrophys. 1996. V.307. P.807.

\noindent
10. {\it Урпин В.A., Муслимов A.Г.} // Астрон. журн. 1992. Т.69.
C.1028.

\noindent
11. {\it Фридман, Панхарипанде (Friedman B., Pandharipande V.R.)}//
Nucl. Phys. 1981. A361. P.502.

\noindent
12. {\it Хаберл, Питщ, Мотч и Баклей (F. Haberl, W. Pietsch,
C. Motch and D.A.H. Buckley)}//
IAU Circ. 1996. No. 6445.

\noindent
13. {\it Яковлев Д.Г., Урпин В.А.}// Астрон. журн. 1980. Т.24. C.303.







\end{document}
