<< 3.8 Регистрация фототока | Оглавление | 3.10 Оценка влияния нелинейности >>

3.9 Вывод формул учета нелинейности

Несложно вывести формулы, использующиеся на практике для учета эффекта нелинейности в методе счета фотонов. В основе вывода лежит общепринятое допущение, что промежутки времени между приходом двух последовательных фотонов имеют экспоненциальное распределение.

Если в среднем каждые секунд с фотокатода ФЭУ вылетает один фотоэлектрон, то промежутки времени между двумя последовательными вылетами частиц имеют экспоненциальное распределение со средним значением . Это распределение описывается формулой

$\begin{displaymath} F(\Delta t) = 1 - e^{\Delta t/T} , \end{displaymath}$

(3.2)

$F(\Delta t)$ -- вероятность того, что случайный интервал между двумя последовательными вылетами фотоэлектронов меньше величины $\Delta t$ .

Если в секунду с фотокатода вылетает фотоэлектронов и средний промежуток времени между ними

$\begin{displaymath} T = 1/N, \end{displaymath}$

(3.3)

то вероятность того, что временное расстояние между последовательными фотоэлектронами будет меньше мертвого времени $\tau$ , равна

$\begin{displaymath} F(\tau) = 1 - e^{-\tau N} . \end{displaymath}$

(3.4)

Поскольку полное число фотоэлектронов, вылетевших за секунду, равно

, то число ``потерянных'' для счета событий $\Delta N$ пропорционально вероятности $F(\tau)$ и равно

(3.5)

а количество зарегистрированных фотоэлектронов

$\begin{displaymath} N' = N - \Delta N = N e^{-\tau N} . \end{displaymath}$

(3.6)

Раскладывая экспоненту в ряд, имеем

$\begin{displaymath} e^{\tau N}=1+\tau N+\frac{(\tau N)^2}{2}+\frac{(\tau N)^3}{6} +\dots~+\frac{(\tau N)^k}{k!} . \end{displaymath}$

(3.7)

и, ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получаем

$\begin{displaymath} N'\approx N / (1 + \tau N) . \end{displaymath}$

(3.8)

Разрешая последнюю формулу относительно N, имеем

$\begin{displaymath} N \approx N' / (1 - \tau N) . \end{displaymath}$

(3.9)

Требуемые формулы получены.

Заметим, что из формулы 3.6 следует

$\begin{displaymath} N = N' e^{\tau N} . \end{displaymath}$

(3.10)

Подставляя это значение

снова и снова в показатель степени в правой части выражения 3.10, т.е. ``само в себя'', получим

$\begin{displaymath} N = N'e^ {\tau N'\cdot{}e^ {\tau N'\cdot{}e^ {\tau N'\dots} } }. \end{displaymath}$

(3.11)

На практике вычисления можно вести как по приближенной формуле 3.9, так и по более точной 3.11. В разумных пределах величин и бесконечное выражение в формуле (3.11) сходится за 3-4 итерации. При очень больших потоках результаты вычислений по формулам 3.9 и 3.11 начинают сильно различаться, Но в этом случае вообще нельзя пользоваться какими-либо формулами, так как трудно учесть влияние совпадений импульсов с кратностью более двух и иных труднопредсказуемых эффектов. При таких потоках работать методом счета фотонов не рекомендуется.

<< 3.8 Регистрация фототока | Оглавление | 3.10 Оценка влияния нелинейности >>