<< C. Вычисление интегралов | Оглавление | Литература >>

D. Аналитическое решение для уравнений движения ядра кометы

В данном приложении будет рассмотрена задача о поиске аналитического решения для уравнений движения ядра кометы (первая пара системы (50)). Рассмотрим второе уравнение системы (50)

(78)

Произведем замену переменных вида . Тогда (78) можно переписать в виде:

(79)

откуда

(80)

Интегрируя последнее выражение, получаем

или

(81)

здесь

- постоянная площадей (удвоенная секторная скорость) [2].

Следовательно, первое уравнение системы (50) можно представить в виде:

(82)

Для решения последнего уравнения произведем замену переменных

, тогда

- радиальная составляющая скорости ядра (линейная орбитальная скорость). В итоге (83) можно представить в виде:

(83)

Здесь учтено, что

. Проинтегрируем последнее соотношение.

Откуда

(84)

иначе

(85)

где - постоянная интегрирования. Учтем также, что

следовательно

откуда

(86)

Проинтегрируем (87)

(87)

Произведем замену переменных вида , тогда , следовательно (88) можно представить в виде:

(88)

Произведем замену переменных вида

(89)

следовательно, (89) можно представить в виде:

(90)

произведем в (91) замену следующего вида

, тогда последнее выражение может быть представлено в виде:

(91)

откуда получаем

(92)

Вернемся к исходной переменной

, тогда (93) можно представить в виде:

(93)

где

(94)

- эксцентриситет орбиты. Если направление на афелий взять за начальное направление радиуса-вектора, то постоянная интегрирования

и уравнение орбиты принимает вид:

(95)

где

. Следовательно, выражение (86) в терминах новых параметров может быть представлено в виде:

(96)

учитывая определение большой полуоси орбиты ядра

(97)

выражение (97) можно переписать в виде:

(98)

Подставляя

из (96) в (82) и интегрируя, получаем

(99)

(100)

Ситуация 1: Параболическая орбита ( ).

Тогда после интегрирования в правой части (101) и учитывая, что , где - перигелийное расстояние ядра, будем иметь:

(101)

Принимая за начало шкалы времени момент времени, когда ядро находится в афелии (

), то получаем:

(102)

Решая последнее уравнение относительно

, получаем зависимость

. Подставляя последнее выражение в (96), получаем явную зависимость

. Таким образом, найден закон движения ядра кометы, движущегося по параболической орбите.

Ситуация 2: Эллиптическая орбита ( ).

В данном случае непосредственное интегрирование (101) затруднительно. В этом случае удобно ввести вспомогательный угол - эксцентрическую аномалию и выразить , в функции этого угла (смотри рис. 27).

Рис. 27. К определению угла E.

На большой оси как на диаметре строим окружность. Проводим через положение ядра кометы (точка ) перпендикуляр к большой оси орбиты до пересечения с окружностью. Угол и есть эксцентрическая аномалия . Очевидно, что или