<< 1. Данные наблюдений 3. Численное моделиpование звездных >>

Subsections

• 2.1 Равновесие
• 2.2 Динамика возмущений в плоскости диска
• 2.3 Физика гpавитационной неустойчивости
• 2.4 Условие гpавитационной устойчивости диска
• 2.5 Устойчивость диска относительно изгибных возмущений
• 2.6 Особенности формы кривых вращения галактик,
  наблюдаемых с ребра

2. Динамика звездного диска

Основным объектом исследования в настоящей главе является звездный диск, представляющий, как правило, наиболее яркую и впечатляющую своими структурными особенностями подсистему спиральных галактик. В § 2.1 мы построим довольно простую самосогласованную модель неоднородного дифференциально вращающегося горячего звездного диска конечной толщины. Затем в § 2.2 выведем уравнение, описывающее в рамках построенной модели дисперсионные свойства неосесимметричных возмущений малой амплитуды в плоскости звездного диска и изучим ветви его колебаний. Влияние различных факторов на устойчивость гравитирующих дисков рассмотрим на качественном уровне в § 2.3. В следующем параграфе мы определим условия устойчивости звездного диска, учитывающие худшую стабилизируемость неосесимметричных возмущений по сравнению с осесимметричными. И наконец, последний § 2.5 посвящен исследованию устойчивости звездного диска относительно изгибных возмущений и формулированию соответствующих условий устойчивости. Во всей этой главе мы будем последовательно проводить сравнение полученных результатов и предсказаний теории с данными наблюдений, краткий обзор которых приведен в главе 1. Отметим также, что вопросы происхождения спирального узора галактик в этой главе практически не затрагиваются, поскольку им посвящена глава 6. Основные результаты, полученные методом численного эксперимента, будут обсуждаться в главе 3.

2.1 Равновесие

2.1.1 Исходные уравнения

Характерное время, в течение которого параметры движения отдельной звезды могут заметно измениться благодаря парному гравитационному взаимодействию с другими звездами в дисках плоских галактик, намного больше времени существования этих систем [215]. Поэтому структуру и динамику звездных дисков галактик с хорошей точностью можно описывать с помощью бесстолкновительного кинетического уравнения. В декартовых координатах это уравнение имеет вид

$${\Vert f \o \Vert t} + \vec V\,{\Vert f \o \Vert \vec r} -... ...\nabla\Phi\, {\Vert f \o \Vert \vec V} = 0 \,, %\eqno(2.1.1)$$ (2.1)

где $f(t,\vec r,\vec V)$ -- функция распределения звезд в шестимерном фазовом (координатно-скоростном) пространстве, $\Phi(\vec r,t)$ -- гравитационный потенциал. Подчеркнем, что векторную форму мы использовали исключительно для краткости записи, и при переходе к другой системе координат вид уравнения (2.1) изменится ^2.1.

Звездные диски галактик в значительной мере обладают осевой симметрией, что является естественным следствием их вращения. По этой причине для решения многих проблем динамики звездного диска удобно пользоваться уравнением (2.1), записанным в цилиндрических координатах $r,\varphi,z$ [163]:

$${\Vert f \o \Vert t} + V_r\,{\Vert f \o \Vert r} + {V_\varp... ...- {\Vert \Phi \o \Vert r}\biggr) \, {\Vert f \o \Vert V_r} -$$

$$-\biggl({V_r\,V_\varphi \o r} + {\Vert \Phi \o r\,\Vert \... ...hi \o \Vert z}\,{\Vert f \o \Vert V_z} = 0 \,. %\eqno(2.1.2)$$ (2.2)

Уравнение (2.2) могло бы полностью описывать динамику звездного диска, если бы был задан гравитационный потенциал $\Phi(t,r,\varphi,z)$. Величина последнего определяется распределениями пространственных плотностей всех подсистем галактики -- в основном звезд диска $\rho_\ast(t,\vec r)$, сфероидальной $\rho_h(t,\vec r)$ и плоской газовой $\rho_g(t,\vec r)$. В объеме, занятом звездным диском, величина $\rho_h$ мала по сравнению с $\rho_\ast$, даже если масса диска сравнима с массой гало (см. п. 1.3.2). Поэтому, интересуясь динамикой звездного диска, можно в первом приближении потенциал гало $\Phi_h$ считать внешним, не зависящим от времени.

В осесимметричных задачах или системах без газа ^2.2 гравитационный потенциал, определяющий динамику звездного диска, практически можно считать самосогласованным, и тем самым связать величины $\Phi$ и $f$ через объемную плотность звездного диска $\rho_*$ уравнением Пуассона

$$\Delta \Phi \equiv {1 \o r}\,{\Vert \o \Vert r}\,\biggl(r\... ...t^2 \Phi \o \Vert z^2} = 4\,\pi\,G\,\rho_* \,, %\eqno(2.1.3)$$ (2.3)

где $G$ -- гравитационная постоянная, а величины $\rho_*$ и $f$ связаны очевидным соотношением

$$\rho_*(\vec r,t) = \int \, f(\vec r,\vec V,t)\,d\vec V \,.$$ (2.4)

Выше уже упоминалась относительная малость амплитуд неосесимметричных возмущений плотности звездного диска. Кроме того, если отвлечься от упомянутых особенностей, распределения различных величин в дисках практически не изменяются в течение временных промежутков порядка нескольких оборотов диска. И тем самым функцию распределения звезд диска можно представить в виде суммы стационарной осесимметричной $f_0(r,z,V_r,V_\varphi,V_z)$ и ``возмущенной'' $f_1(t,r,\varphi,z,V_r,V_\varphi,V_z)$ компонент.

Как уже отмечалось в обзоре наблюдательных данных (см. § 1.1), основным движением звезд в диске является их вращение вокруг оси симметрии плоской галактики. В соответствии с этим удобно выделить угловую скорость вращения диска

$$\Omega(r,z) = \int V_\varphi\,f_0\,d\vec V \bigg/ r\,\int f_0\,d\vec V %\eqno(2.1.5)$$ (2.5)

и ввести остаточную скорость $\vec v$ соотношениями

$$v_r = V_r,\quad v_\varphi = V_\varphi - r\,\Omega,\quad v_z = V_z \,. %\eqno(2.1.6)$$ (2.6)

Нетрудно видеть, что такое преобразование приведет исходное кинетическое уравнение (2.2) к виду

$${\Vert f \o \Vert t} + v_r\,{\Vert f \o \Vert r} + \biggl(\... ...r - {\Vert \Phi \o \Vert r}\biggr)\,{\Vert f \o \Vert v_r} -$$

$$- \biggl({v_r\,v_\varphi \o r} + {\varkappa^2 \o 2\,\Omega... ...arphi} - {\Vert \Phi \o \Vert z}\,{\Vert f \o \Vert v_z} = 0,$$ (2.7)

где $\varkappa = 2\,\Omega\, \sqrt{1 + r\,d\Omega/2\,\Omega\,dr}$ -- эпициклическая частота (частота малых колебаний звезд диска в радиальном направлении -- см. § 1.1).

2.1.2 Равновесная функция распределения звезд

Равновесная (стационарная и осесимметричная) компонента функции распределения звезд диска, согласно (2.7), должна удовлетворять уравнению

$$v_r\,{\Vert f_0 \o \Vert r} + v_z\,{\Vert f_0 \o \Vert z} ... ...\Vert \Phi_0 \o \Vert r}\biggr)\, {\Vert f_0 \o \Vert v_r} -$$

$$\biggl({v_r\,v_\varphi \o r} + {\varkappa^2 \o 2\,\Omega... ...0 \o \Vert z}\,{\Vert f_0 \o \Vert v_z} = 0 \,, %\eqno(2.1.8)$$ (2.8)

где $\Phi_0 = \Phi_0(r,z)$ -- стационарная осесимметричная часть гравитационного потенциала, описываемая уравнением Пуассона

$${1 \o r}\,{\Vert \o \Vert r}\,\biggl(r\,{\Vert \Phi_0 \o \... ...i\,G\,\rho_{*0} = 4\,\pi\,G\int f_0 d \vec{v}. %\eqno(2.1.9)$$ (2.9)

Система уравнений (2.8), (2.9) самосогласованна, и в соответствии с приведенными выше замечаниями может служить для определения функций $f_0$ и $\Phi_0$. Она довольно сложна, и для дальнейшего продвижения в решении поставленной нами задачи необходимо использовать приближения, основанием для применения которых должны быть данные наблюдений.

Из этих данных в первую очередь следует, что характерная полутолщина звездного диска $\Delta_*$ много меньше его радиуса $R$. Это означает, что в уравнении (2.9) $\vert\Vert^2\Phi_0/\Vert z^2\vert \gg \vert \Vert(r\,\Vert\Phi_0/\Vert r)/r\,\Vert r\vert$ и в простейшем приближении однородного по толщине диска из (2.9) вытекает оценка частоты колебаний звезд поперек плоскости диска [см. (1.4)]:

$$\omega_z \simeq \sqrt{ 4\,\pi\,G\,\rho_{*0}\,(z=0) } = \sqrt{ 2\,\pi\,G\, \s_{*0}/\Delta_* }, %\eqno(2.1.10)$$ (2.10)

где $\s_{*0}(r) = 2\,\Delta_*\,\rho_{*0}(r,z=0)$ -- равновесная поверхностная плотность звездного диска. Очевидно, что для заданного значения $\s_{*0}$ величина при $\Delta_* \rightarrow 0$. В этом же пределе частота колебаний звезд в плоскости диска $\varkappa$ остается конечной величиной [865]. Поэтому в теории, изучающей структуру достаточно тонких звездных дисков, появляется малый параметр (см. п. 1.1.2)

$$\varepsilon = \varkappa /\omega_z \ll 1 \,. %\eqno(2.1.11)$$ (2.11)

Из приведенных выше рассуждений следует, что амплитуда колебаний звезд поперек плоскости диска есть величина порядка $\Delta_* \sim \varepsilon^2\,r$, а $z$-компонента их скорости $v_z \sim \omega_z\, \Delta_* \sim V_\varphi\,\varepsilon^1$. Поэтому в уравнении (2.8) операторы $\Vert/\Vert z \sim \Delta^{-1}_* \sim \varepsilon^{-2}/r$ и $\Vert/\Vert v_z \sim (\omega_z\,\Delta_*)^{-1} \sim \varepsilon^{-1}/V_\varphi$. С другой стороны, используя уравнения движения отдельной звезды поперек плоскости диска, видим: $\Vert\Phi_0/\Vert z = dv_z/ dt \sim \omega_z\,v_z \sim \varepsilon^0\,V^2_\varphi/r$. Поэтому связанная с $z$-движением звезд часть кинетического уравнения (2.8) имеет вид

$$\hat {\cal L}\,f_0 \equiv v_z\,{\Vert f_0 \o \Vert z} - {\... ...a_z\, f_0 = \varepsilon^{-1}\,\varkappa\,f_0. %\eqno(2.1.12)$$ (2.12)

Из данных наблюдений также следует (см. § 1.1), что характерные дисперсии $c_r, c_\varphi , c_z$ компонент остаточных скоростей звезд [см. (2.6)] малы по сравнению со скоростью вращения $V_{вр}= r\, \Omega$ звезд диска вокруг центра масс галактики:

$$c / V_{вр} \ll 1, %\eqno(2.1.13)$$ (2.13)

где $c = max\{c_i\}$, $i = r,\varphi,z$. Малая величина этого параметра означает, что $v^2_\varphi/r \ll 2\,\Omega\,\vert v_\varphi\vert$; $\vert v_r\,v_\varphi / r\vert \ll (\varkappa^2/2\,\Omega)\,\vert v_r\vert$ и, следовательно, членами $v^2_\varphi\,\Vert f_0 / r\,\Vert v_r \,\lee\, c\,f_0 / r$ и $v_r\,v_\varphi\,\Vert f_0 / r\,\Vert v_\varphi \,\lee\, c\,f_0/r$ в уравнении (2.8) можно пренебречь. Приближение, в котором указанными членами пренебрегают, называется эпициклическим ^2.3. Членом $v_r\,\Vert f_0 /\Vert r \sim c\,f_0/L$ мы пренебрегать не будем, поскольку характерные масштабы $L$ радиальной неоднородности параметров диска за пределами его центральной части малы по сравнению с расстоянием до центра диска [403].

Приближение, определяемое неравенством (2.13), дает основание заключить, что равновесие диска в радиальном направлении обусловлено балансом центробежной и равновесной гравитационной сил

$$\Omega^2\,r - {\Vert\Phi_0 \o \Vert r} = 0 %\eqno(2.1.14)$$ (2.14)

с точностью до членов $\lee\, c^2/L \ll \Omega^2\,r$.

Из приведенной выше оценки $\Vert\Phi_0 / \Vert z \propto \varepsilon^0$ следует, что зависящая от $z$ часть $\delta\Phi_0$ равновесного гравитационного потенциала $\delta\Phi_0 \propto \varepsilon^2$. Именно эта величина и определяет порядок по параметру $\varepsilon$ зависящей от $z$-координаты компоненты угловой скорости вращения диска. Действительно, так как полная $\Omega(r,z) = \Omega_0(r) + \delta\Omega (r,z)$, где $\delta\Omega(r,z=0)=0$, из условия равновесия диска (2.14) получим

$$\delta\Omega \simeq {\Vert\delta\Phi_0 \o 2\,r\,\Omega_0\,\Vert r} \propto \varepsilon^2, %\eqno(2.1.15)$$ (2.15)

и, следовательно,

$$v_r\,r\,{\Vert\Omega \o \Vert z}\,{\Vert f_0 \o \Vert v_\varphi} \propto \varepsilon \, f_0. %\eqno(2.1.16)$$ (2.16)

За вычетом этого вклада и $\hat {\cal L}\, f_0$ [см. (2.12)], оставшаяся совокупность членов в (2.8) есть

$$\hat D_0\, f_0 \equiv v_r\,{\Vert f_0 \o \Vert r} + 2\,\O... ...\varkappa \, f_0 \propto \varepsilon \, f_0 . %\eqno(2.1.17)$$ (2.17)

Полученные результаты, оценивающие согласно (2.12), (2.16), (2.17) порядки членов кинетического уравнения по малому параметру $\varepsilon$, позволяют перейти к решению поставленной нами задачи определения $f_0$ и $\Phi_0$ методом последовательных приближений. Для реализации этой возможности заметим, что из элементарной оценки $\Vert^2\Phi_0/\Vert z^2 \propto \varepsilon^{-2}$ следует $\rho_{*0} \propto \varepsilon^{-2}$ и, значит, $f_0 \propto \varepsilon^{-3}$. Поэтому разложения искомых функций $f_0$ и $\Phi_0$ в ряды по степеням параметра $\varepsilon$ должны иметь вид

$$f_0 = f_{0,-3} + f_{0,-2} + f_{0,-1} + ... \,, %(2.1.18) ... ...(r) + \Phi_{0,2}(r,z) + \Phi_{0,4}(r,z) + ... \,, %(2.1.19)$$ (2.18)

где $f_{0,n} \propto \varepsilon^n$; $\Phi_{0,n} \propto \varepsilon^n$. Разложение $\Phi_0(r,z)$ по четным степеням $\varepsilon$ обусловлено тем, что его зависимость от $z$ определяется только параметром толщины диска $\Delta_* \propto \varepsilon^2$. Это утверждение справедливо и для $\rho_{*0}(r,z)$, но необязательно должно выполняться для $f_0(r,z,\vec v)$.

Подставим разложения (2.18) в исходную систему уравнений (2.8), (2.9). Тогда в двух главных порядках по параметру $\varepsilon$ получим:

$$\hat {\cal L}_0\, f_{0,-3} = 0 \,, %\eqno(2.1.20)$$ (2.19)

$$\hat {\cal L}_0\, f_{0,-2} + \hat D_0\,f_{0,-3} = 0 \,,$$ (2.20)

$${\Vert^2 \Phi_{0,2} \o \Vert z^2} = 4\,\pi\,G\,\rho_{*0,-2} \,,$$ (2.21)

где

$$\hat {\cal L}_0 = v_z\,{\Vert \o \Vert z} - {\Vert \Phi_{0,2} \o \Vert z}\,{\Vert \o \Vert z}. %\eqno(2.1.23)$$ (2.22)

Если бы проекция траектории звезды на плоскость $z=0$ представляла собой окружность, то благодаря стационарности и осесимметричности равновесного состояния диска величина

$$E_z = {v^2_z \o 2} + \Phi_0(r,z) - \Phi_{0,0}(r) %\eqno(2.1.24)$$ (2.23)

была бы интегралом движения. Реально же радиальная координата звезды является медленно меняющимся (в связи с тем, что $\varepsilon = \varkappa/\omega_z \ll 1$) параметром. Поэтому приближенно сохраняющейся величиной должен быть адиабатический инвариант $J = \hbox{\rm const}\, E_z/\omega_z$ [93], и для решения приведенной выше системы уравнений удобно перейти от переменных $z,\,v_z$ к переменным типа действие-угол $J,\, w$ [865]:

$$J = \oint v_z\, dz \,, %(2.1.25) \quad w = \int^z_0 dz'/ v_z \,. %(2.1.26)$$ (2.24)

В этих переменных система (2.19), (2.20) примет вид:

$$\hat {\cal L}_0\, f_{0,-3} \equiv {\Vert f_{0,-3} \o \Vert w} = 0 \,,$$ (2.25)

$${\Vert f_{0,-2} \o \Vert w} + \hat D_0 \, f_{0,-3} = 0 \,. %\eqno(2.1.28)$$ (2.26)

Отсюда видно, что $f_{0,-3}$ не зависит от переменной $w$. Поскольку определение $f_{0,-3}$ и является нашей задачей, проинтегрируем (2.25) по полному периоду изменения величины $w$. В результате получим

$$v_r\,{\Vert f_{0,-3} \o \Vert r} + 2\,\Omega\,v_\varphi\,{... ...v_r\,{\Vert f_{0,-3} \o \Vert v_\varphi} = 0. %\eqno(2.1.29)$$ (2.27)

Перейдем теперь к переменным $r_0$,$v_\perp$, $\alpha$, связанным с величинами $r$, $v_r$, $v_\varphi$ соотношениями:

$$v_r = v_\perp \, \cos\alpha;\quad v_\varphi = v_\perp \, ... ...r = r_0 - {v_\perp \o \varkappa}\,\sin\alpha, %\eqno(2.1.30)$$ (2.28)

$$v_\perp = \sqrt{ v^2_r + \biggl( {2\,\Omega\,v_\varphi \o ... ...\,\Omega\,v_\varphi \o \varkappa v_r}\biggr). %\eqno(2.1.31)$$ (2.29)

Как будет видно из содержания следующего раздела, величина $v_\perp$ имеет смысл амплитуды радиальной скорости звезды, $r_0$ представляет собой радиус круговой орбиты центра эпицикла звезды, а величина $\alpha$ является фазой движения звезды по эпициклу. Поскольку в рамках используемого нами эпициклического приближения $\vert (r-r_0)/r_0\vert \sim c/V_{вр} \ll 1$, то в (2.28), (2.29) следует полагать $\Omega = \Omega(r_0)$, $\varkappa = \varkappa(r_0)$. Нетрудно видеть, что в новых переменных (2.29) уравнение (2.25) приобретает вид

$$-\varkappa\,{\Vert f_{0,-3} \o \Vert \alpha} = 0. %\eqno(2.1.32)$$ (2.30)

С учетом уравнения (2.25), следует искомая равновесная функция распределения звезд

$$f_{0,-3} = f_0(r_0,v_\perp,J). %\eqno(2.1.33)$$ (2.31)

Это означает, что в рамках используемых нами приближений (эпициклического и главного порядка по параметру $\varepsilon$) величины $r_0$, $v_\perp$, $J$ являются интегралами движения.

Конкретный вид этой функции должен быть определен на основании дополнительных данных. Непосредственно построить функцию распределения $f_0$, исходя из наблюдений, в настоящее время представляется возможным только в солнечной окрестности Галактики. Неравенство дисперсий скоростей звезд Галактики в трех взаимно перпендикулярных направлениях является непреложным наблюдательным фактом (см. п. 1.1.4). Имеется ряд аналитических аппроксимаций наблюдаемых распределений скоростей звезд, которые согласуются с наблюдениями только в ограниченных интервалах скоростей (обзор литературы дан Шацовой [223]). Наиболее известно распределение Шварцшильда, которое представляет собой анизотропное максвелловское:

$$f(\vec v) = A\, \exp\left\{ -{v^2_r \o 2\,c^2_r} - {v^2_\v... ...2\,c^2_\varphi} - {v^2_z \o 2\,c^2_z}\right\}. %\eqno(2.1.34)$$ (2.32)

Были предприняты большие усилия для того, чтобы, с одной стороны, обосновать этот закон теоретически [595, 801], а с другой -- устранить противоречия с наблюдениями путем увеличения числа и точности наблюдений. В итоге можно сказать, что лишь для малых и средних скоростей звезд удается получить удовлетворительное согласие закона (2.32) с наблюдениями. Для области больших скоростей расхождения существенны [223]. Однако, несмотря на наличие определенных трудностей прежде всего теоретического плана, закон Шварцшильда является наиболее популярным в звездной астрономии. Ниже нами будет использоваться распределение в форме (2.32) ^2.4. В соответствии с этим полагаем

$$f_{0,-3} = A(r_0)\,\exp\left\{ - v^2_\perp/2\,c^2_r(r_0) - J/\tau(r_0)\, c^2_z(r_0)\right\}, %\eqno(2.1.35)$$ (2.33)

где $\tau = 2\,\pi/\omega_z$, параметры $c_r(r_0)$, $c_z(r_0)$ имеют очевидный смысл дисперсий скоростей звезд в радиальном и перпендикулярном к плоскости диска направлениях соответственно, а из (2.29) нетрудно видеть, что роль дисперсии скоростей звезд в азимутальном направлении $c_\varphi$ играет величина

$$c_\varphi(r_0) = {\varkappa(r_0) \o 2\,\Omega(r_0)}\,c_r(r_0).$$ (2.34)

Это соотношение между $c_r$ и $c_\varphi$ с хорошей точностью соответствует имеющимся данным астрономических наблюдений [73, 190].

Вычислим равновесное распределение объемной плотности в диске. Для этого проинтегрируем (2.33) по пространству скоростей

$$\rho_{*0}(r,z) = \int f_{0,-3} dv_r dv_\varphi dv_z = {\var... ...\o 2\, \Omega} \int f_{0,-3} v_\perp dv_\perp d\alpha dv_z =$$

$$\rho_{*0}(r_0,z=0)\cdot\exp\{-[\Phi_0(r_0,z) - \Phi_{0,0}(r_0)]/ c^2_z(r_0)\} \,, %(2.1.37)$$ (2.35)

где

$$\rho_{*0}(r_0,z=0) = (2\,\pi)^{3/2}c^2_r c_z A\,{\varkap... ...\,\Omega} = (2\,\pi)^{3/2}c_r c_\varphi c_z A \,, %(2.1.38)$$ (2.36)

$A$ -- размерная константа [см. (2.33)]. Положим теперь, что

$$\Phi_0(r_0,z) - \Phi_{0,0}(r_0) \simeq \Phi_{0,2}(r_0,z) = - c^2_z\, \ln\{F(r_0,z)\}. %\eqno(2.1.39)$$ (2.37)

Тогда уравнение Пуассона (2.21) в главном порядке по малому параметру $\varepsilon$ переходит в уравнение, определяющее функцию $F(r_0,z)$:

$${d^2F \o dz^2} - {1 \o F}\,\left({dF \o dz}\right)^2 + {4... ...i\,G\, \rho_{*0}(r_0,z=0) \o c^2_z}\, F^2 = 0. %\eqno(2.1.40)$$ (2.38)

Нетрудно видеть, что убывающее при $\vert z\vert \rightarrow \infty$ решение этого уравнения имеет вид

$$F(r_0,z) = {\rm ch}^{-2}\{z/\Delta_*(r_0)\}, %\eqno(2.1.41)$$ (2.39)

где параметр

$$\Delta_*(r_0) = \sqrt{c^2_z(r_0)/2\,\pi\,G\,\rho_{*0}(r_0,z=0)} = {c^2_z (r_0)\o \pi\,G\,\s_{*0}(r_0) } %\eqno(2.1.42)$$ (2.40)

имеет очевидный смысл характерной полутолщины звездного диска, а величина

$$\s_{*0}(r_0) = \int_{-\infty}^{\infty} \rho_{*0}(r_0,z)\,dz = 2\,\Delta_*(r_0)\,\rho_{*0}(r_0,z=0) %\eqno(2.1.43)$$ (2.41)

представляет собой равновесную поверхностную плотность звездного диска.

Суммируем полученные результаты. Равновесная функция распределения звезд в главном порядке по малому параметру $\varepsilon = \varkappa/\omega_z \ll 1$ и в эпициклическом приближении, определяемом неравенством (2.13), имеет вид

$$f_0 = {\rho_{*0}(r_0,z) \o (2\,\pi)^{3/2}c_r(r_0)\,c_\var... ...hi (r_0)} - {v^2_z \o 2\,c^2_z(r_0)}\biggr\}, %\eqno(2.1.44)$$ (2.42)

где

$$\rho_{*0}(r_0,z) = {\s_{0*}(r_0) \o 2\,\Delta_*(r_0)}\,{\rm ch}^{-2}\left( {z \o \Delta_*(r_0)}\right), %\eqno(2.1.45)$$ (2.43)

а распределение равновесного гравитационного потенциала поперек плоскости диска описывается соотношением

$$\Phi_0(r_0,z) = \Phi_0(r_0,z=0) + 2\,\pi\,G\,\s_{*0}(r_0)... ...ch}\biggl({z \o \Delta_*(r_0)}\biggr)\biggr\}. %\eqno(2.1.46)$$ (2.44)

Как видно из (2.42)-(2.44), равновесие диска определяется распределениями следующих параметров: $\Omega(r_0)$, $\varkappa(r_0)$, $c_r(r_0)$, $c_\varphi(r_0)$, $c_z(r_0)$, $\s_{*0}(r_0)$, $\Delta_*(r_0)$. Однако не все из них независимы. Так, величина $\varkappa(r_0)$ однозначно определяется через угловую скорость $\Omega(r_0)$ соотношением (1.5), а параметры $c_r$, $c_\varphi$, а также $c_z$, $\s_{*0}$, $\Delta_*$ связаны уравнениями (2.34) и (2.40) соответственно. Еще одну связь между равновесными параметрами звездного диска могло бы дать уравнение (2.14), если бы масса диска в плоских галактиках всегда была много больше массы сфероидальных подсистем. В этом случае мы могли бы связать $\Phi_{0,0}(r_0,0)$ [а через уравнение Пуассона и $\s_{*0}(r_0)$] с угловой скоростью вращения диска $\Omega(r_0)$. К сожалению, упомянутое условие не выполняется, и поэтому в рамках развитой выше теории имеются четыре независимых параметра, описывающих звездный диск. Как будет видно из дальнейшего, еще две связи между равновесными параметрами звездного диска можно, в принципе, получить из условий его маргинальной ^2.5 устойчивости относительно изгибных возмущений и возмущений в его плоскости. Тогда независимыми и, следовательно, требующими определения из данных наблюдений останутся лишь два параметра. Одним из них обычно полагают уверенно наблюдаемую угловую скорость вращения диска $\Omega$. Другим может быть либо одна из дисперсий скоростей звезд ( $c_r, c_\varphi , c_z$) в диске, либо его поверхностная плотность $\s_{*0}$. Величина последней из наблюдений уверенно не определяется, однако из данных по многоцветной фотометрии звездных дисков известно, что $\s_{*0} \propto \exp\{ -r/L_\s\}$ за пределами центральной ( $r\,\gee\, L_\s$) части диска [403, 557].

В этом разделе мы, следуя Вандервоорту [865], построили довольно простую модель звездного диска. Более сложные модели структуры диска поперек его плоскости можно найти, например, в упоминавшейся уже работе Вандервоорта и работе Бакола [266]. В последней, в частности, учтен вклад объемной плотности звезд сфероидальной подсистемы (см. также работу [140]). Мы их, однако, описывать не будем. Во-первых, потому, что довольно тонкие детали моделей весьма трудно сравнивать с данными наблюдений. Во-вторых, потому, что задача построения теории устойчивости этих моделей звездных дисков относительно как изгибных возмущений, так и возмущений в их плоскости пока не решена, и тем самым целостного понимания динамики звездного диска в рамках таких моделей не возникает.

2.2 Динамика возмущений в плоскости диска

В предыдущем разделе построена модель стационарного равновесного звездного диска. Отклонения параметров диска (функции распределения, потенциала и др.) от равновесных значений будем называть возмущениями той или иной величины. Предположение о малой величине амплитуд отклонений от равновесного состояния весьма привлекательно для теоретического рассмотрения, поскольку исчезает одна из главных проблем при решении кинетического уравнения -- его нелинейность. Изучение возможных пространственных структур на фоне осесимметричного стационарного состояния весьма популярно. В то же время для реальных систем предположение о малой величине амплитуд возмущений часто нарушается. Достижения в построении нелинейных моделей (речь не идет о численных, см. гл. 3) невелики. Однако линейный подход позволяет весьма успешно решать классическую задачу об устойчивости равновесной системы, отвечая на вопрос о причинах роста со временем тех или иных первоначально сколь угодно малых по амплитуде возмущений. В основе анализа линейной устойчивости лежит дисперсионное уравнение, определяющее временную динамику малых возмущений в зависимости от их пространственной структуры. Из-за стационарности исходного диска возмущения пропорциональны $e^{-i\omega t}$ и будущее системы определяется наличием и знаком мнимой части частоты $\omega$ (инкрементом). Рост со временем амплитуды в случае ${\rm Im}(\omega) > 0$ свидетельствует о неустойчивости системы.

В данном параграфе мы получим дисперсионное уравнение, учитывающее неоднородность распределения равновесных параметров звездного диска.

2.2.1 Постановка задачи

Следуя Вандервоорту [866], получим кинетическое уравнение, описывающее динамику возмущений малой амплитуды в плоскости тонкого звездного диска. Для этого представим полные функции распределения звезд и гравитационный потенциал диска в виде суммы равновесных ($f_0,\,\Phi_0$) и возмущенных ($f_1,\,\Phi_1$) величин:

$$f = f_0 + f_1 \,,\quad \vert f_1 \vert \ll \vert f_0 \ver... ... \vert \Phi_1 \vert \ll \vert \Phi_0 \vert\,. % \eqno(2.2.1)$$ (2.45)

Линеаризованное по возмущенным величинам $f_1$, $\Phi_1$ кинетическое уравнение (2.7) в эпициклическом приближении имеет вид

$${\Vert f_1 \o \Vert t} + v_r\,{\Vert f_1 \o \Vert r} + \big... ...\Omega \o \Vert z} \biggr)\,{\Vert f_1 \o \Vert v_\varphi} +$$

$$+ v_z\,{\Vert f_1 \o \Vert z} - {\Vert \Phi_0 \o \Vert z}{... ...\varphi} + {\Vert \Phi_1 \o \Vert z}{\Vert f_0 \o \Vert v_z}.$$ (2.46)

Для вычисления возмущенных величин $f_1$, $\Phi_1$ так же, как и при определении $f_0$, $\Phi_0$, будем использовать приближение диска малой толщины ( $\varkappa \ll \omega_z$). Очевидно, что, как и равновесная $\s_{*0}$, величина возмущенной поверхностной плотности $\s_{*1} \propto \varepsilon^0$. Поэтому возмущенная объемная плотность $\rho_{*1} \sim \s_{*1}/\Delta_* \propto \varepsilon^{-2}$, $\ f_1 \propto \varepsilon^{-3} \$ и зависящая от $z$-координаты часть $\delta\Phi_1$ возмущенного гравитационного потенциала пропорциональна $\varepsilon^2$. В соответствии с этим разложим $f_1$, $\Phi_1$ в ряды по степеням малого параметра $\varepsilon$ (ср. с (2.18)):

$$f_1 = f_{1,-3} + f_{1,-2} + ... \,, \qquad \Phi_1 = \Phi_{1,0}(r,\varphi) + \Phi_{1,2}(r,\varphi) + ... \,,$$ (2.47)

где $f_{1,n} \propto \varepsilon^n$ и $\Phi_{1,n} \propto \varepsilon^n$. Тогда в рамках двух главных порядков по параметру $\varepsilon$ уравнение (2.46) может быть расщеплено на систему двух уравнений

$$\hat{\cal L}_0 f_{1,-3} = {\Vert\Phi_{1,2} \o \Vert z}{\Ve... ...Vert v_z} \equiv \delta\hat{\cal L}\,f_{0,-3}, %\eqno(2.2.4)$$ (2.48)

$${\Vert f_{1,-3} \o \Vert t} + \biggl(\Omega + {v_\varphi \o... ...arphi} + \hat{\cal D}_0 f_{1,-3} + \hat{\cal L}_0 f_{1,-2} =$$

$$= {\Vert\Phi_{1,0} \o \Vert r}{\Vert f_{0,-3} \o \Vert v_r... ...rt v_\varphi} + \delta\hat{\cal L}_0 f_{0,-2}, %\eqno(2.2.5)$$ (2.49)

где операторы $\hat{\cal L}_0$ и $\hat{\cal D}_0$ определены соотношениями (2.22) и (2.17) соответственно.

Для решения этой системы так же, как и в п. 2.1.2, перейдем к переменным действие-угол $J$, $w$ (2.24). Поскольку $J = \tau E_z$, где $\Oo\tau = \oint dz/v_z$, то

$$\delta\hat{\cal L} = \tau\,{\Vert\Phi_{1,2} \o \Vert w}{\Vert \o \Vert J}$$ (2.50)

и уравнение (2.48) приобретает вид

$${\Vert f_{1,-3} \o \Vert w} = \tau\,{\Vert f_{0,-3} \o \Vert J}{\Vert\Phi_{1,2} \o \Vert w}. %\eqno(2.2.7)$$ (2.51)

Общее решение этого уравнения в случае, если равновесная функция распределения $f_{0,-3}$ определена соотношением (2.42), можно записать в виде

$$f_{1,-3} = \left(\langle\Phi_{1,2}\rangle - \Phi_{1,2}\ri... ... \o c^2_z} + g_1(t,r,\varphi,v_r,v_\varphi,J), %\eqno(2.2.8)$$ (2.52)

где символ $\langle\ldots\rangle$ означает усреднение по фазе $z$-движения:

$$\langle Q\rangle = {1 \o \tau}\oint Q\,{dz \o v_z}. %\eqno(2.2.9)$$ (2.53)

Для определения величины $g_1 = \langle f_{1,-3}\rangle$ усредним (2.49) по фазе $z$-движения в соответствии с правилом (2.53). В результате получим

$${dg_1 \o dt} \equiv {\Vert g_1 \o \Vert t} + v_r\,{\Vert g_... ...kappa^2 \o 2\,\Omega}\,v_r\,{\Vert g_1 \o \Vert v_\varphi} =$$

$$= {\Vert\langle\Phi_{1,0}\rangle \o \Vert r}{\Vert f_{0,-3... ...ngle \o r\,\Vert\varphi}{\Vert f_{0,-3} \o \Vert v_\varphi}.$$ (2.54)

Структура этого уравнения не описывает эффекты, связанные с движением звезд по $z$-координате. Тем самым удается сформулировать один из этапов решения задачи как задачу определения возмущенной функции распределения $g_1$ в модели тонкого ( $\Delta_* \rightarrow 0$) звездного диска. Соответствующее вычисление величины $g_1$, а затем и возмущенной объемной плотности диска конечной толщины проведено в следующем пункте.

2.2.2 Возмущенная плотность звездного диска

Уравнение (2.54) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных. Его характеристики, определяющие невозмущенные траектории звезд в плоскости диска, описываются уравнениями:

$${dr \o dt} = v_r\,, \ \ {d\varphi \o dt} = \Omega(r) + {v_... ...v_\varphi \o dt} = - {\varkappa^2(r) \o 2\,\Omega(r)}\,v_r\,.$$ (2.55)

В рамках эпициклического приближения решение этих уравнений имеет вид

$$v_r = v_\perp\,,\cos(\alpha)\,,\qquad v_\varphi = v_\perp{\varkappa \o 2\, \Omega}\,\sin(\alpha)\,,$$

$$r = r_0 - {v_\perp \o \varkappa}\,\sin(\alpha)\,,\qquad ... ... r}{2\,\Omega \o \varkappa^2}\,\cos(\alpha)\,, %\eqno(2.2.12)$$ (2.56)

где $r_0$, $v_\perp$ -- постоянные интегрирования, $\Omega = \Omega(r_0)$, $\varkappa = \varkappa(r_0)$, $\alpha = \alpha_0 - \varkappa\,t$ -- фаза движения звезды по эпициклической траектории ($\alpha_0$ -- начальная фаза). Из (2.56) нетрудно видеть, что невозмущенное движение звезды в эпициклическом приближении представляет собой движение по эллипсу (эпициклу), одна из полуосей которого, ориентированная на центр диска, равна $v_\perp/ \varkappa$, а другая, ориентированная в азимутальном направлении, равна $2\, \Omega\,v_\perp /\varkappa^2$. Центр этого эллипса (эпицикла) движется вокруг центра диска по круговой орбите радиусом $r_0$ с угловой скоростью $\Omega(r_0)$.

Для вычисления возмущенной функции распределения $g_1$ запишем уравнение (2.54) в виде, удобном для применения в дальнейшем метода интегрирования по траекториям [112]:

$$g_1(t) = \int\limits_{-\infty}^t dt'\biggl\{{2\,\Omega \o ... ...0\,\Vert\varphi(t')} + {\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_1} \times$$

$$\times \biggl[ v_r(t')\,{\Vert\langle\Phi_{1,0}(t')\rangle... ...ngle \o r_0\Vert \varphi(t')}\biggr]\biggr\}, %\eqno(2.2.13)$$ (2.57)

где $I_1 = v^2_\perp /2$; $I_2 = r_0$ -- интегралы движения звезды в плоскости диска в эпициклическом приближении и учтено, что [см. (2.29)]

$${\Vert f_{0,-3} \o \Vert v_r} = v_r{\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_1}\,,$$ (2.58)

$${\Vert f_{0,-3} \o \Vert v_\varphi} = {4\,\Omega^2 \o \v... ...ga \o \varkappa^2}{\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_2}\,. %(2.2.15)$$ (2.59)

Представление $g_1(t)$ в виде (2.57) предполагает, что возмущение включается в момент времени $t = -\infty$ с амплитудой пренебрежимо малой по сравнению с ее уровнем в момент времени $t$.

Коэффициенты уравнения (2.54) в связи со стационарностью и осесимметричностью равновесного состояния диска не зависят явно от времени и азимутальной координаты. Это позволяет представить зависимость возмущенных величин $f_1$, $\Phi_1$ от времени $t$ и угла $\varphi$ в экспоненциальном виде $f_1,\Phi_1 \propto \exp\{-i\omega t + i m \varphi\}$, где $\omega$ -- частота возмущений, $m = 0,1,2,...$ -- номер моды по азимуту, $k_\varphi = m/r$ -- азимутальное число. Такое представление, в частности, означает, что предполагавшийся выше при переходе от (2.54) к (2.57) рост амплитуды возмущений во времени эквивалентен наличию у частоты $\omega$ малой положительной мнимой части -- инкремента.

В радиальном направлении равновесный звездный диск неоднороден. Однако мы можем ограничиться рассмотрением коротковолновых в этом направлении возмущений -- таких, характерный масштаб изменения которых мал по сравнению с минимальным масштабом радиальной неоднородности диска. Роль последнего в галактиках за пределами их центральных областей обычно играет величина $L_\s = \vert d\,\ln(\s_{*0})/dr\vert^{-1}$. Для изучения свойств таких возмущений используют ВКБ-приближение, в котором радиальная зависимость возмущенных величин полагается $\propto~\exp(i k_r r)$, где $k^{-1}_{r}$ -- упоминавшийся выше характерный масштаб изменения возмущенных величин в радиальном направлении ($k_r$ -- радиальное волновое число). Таким образом, сформулированное выше условие применимости ВКБ-приближения можно записать в виде ^2.6

$$k_r L_\s \gg 1. %\eqno(2.2.16)$$ (2.60)

Такой подход позволяет преобразовать все дифференциальные операторы в подынтегральном выражении в (2.57) в алгебраические и тем самым связать величины $\omega$, $m$, $k_r$ алгебраическим уравнением

$$F(\omega, k_r, m) = 0, %\eqno(2.2.17)$$ (2.61)

обычно называемым дисперсионным. Результаты его решения можно трактовать следующим образом. Возмущения, характеризуемые конкретными $m$, $k_r$, эволюционируют по закону $\exp\{-i\omega t\}$, где $\omega=~\omega(m,k_r)$ -- вообще говоря, комплексная величина. И если корни $\omega$ дисперсионного уравнения (2.61) при некоторых значениях $m$, $k_r$ таковы, что ${\rm Im}(\omega) > 0$, то амплитуда таких возмущений экспоненциально растет со временем (вообще говоря, необязательно в каждой точке пространства). Заметим также, что, зная решения (2.61), мы в общем случае можем изучать и эволюцию произвольных возмущений, если в начальный момент времени нам будет известен фурье-спектр такого возмущения в $m - k_r$-пространстве.

Для дальнейшего важно отметить, что мы не связываем решение рассматриваемой здесь задачи изучения динамики малых возмущений в звездном диске с исследованием поведения каких-либо глобальных структурных особенностей диска (например, спирального узора). Поэтому в отличие от подхода Лина и Шу [585, 586] не будем пренебрегать в (2.54) и (2.57) возмущенными азимутальными силами. Такой подход позволяет нам изучить дисперсионные свойства неосесимметричных возмущений в неоднородном звездном диске и получить условие его устойчивости относительно неосесимметричных возмущений в его плоскости [126, 128].

Вычислим фазу возмущений $m\,\varphi + k_r r$. Для этого перейдем в двумерном пространстве волновых векторов ($k_r$, $k_\varphi$) к величинам

$$\tilde k = \sqrt{ k^2_r + \left({2\Omega \o \varkappa}\,k... ...arctg}\left\{{2\,\Omega\,k_\varphi \o \varkappa k_r}\right\};$$ (2.62)

здесь $k_\varphi = m/r_0$. Тогда с помощью уравнений (2.56), описывающих невозмущенные траектории звезд, нетрудно получить

$$k_r r(t) + m\,\varphi(t) = m\,\Omega\,t + \tilde k\,\left[... ...p \o \varkappa}\,\sin(\alpha - \beta)\right]. %\eqno(2.2.19)$$ (2.63)

Используя этот результат, приводим (2.57) к виду

$$g_1 = i\,\tilde k\,\langle\Phi_{1,0}\rangle\int\limits_{-\i... ...eta) \o \varkappa}{\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_2}\right\}\times$$

$$\times\exp\{i\,\hat\omega\,(t-t') + i\,\xi\,[\sin(\alpha - \beta) - \sin (\alpha'-\beta)]\}, %\eqno(2.2.20)$$ (2.64)

где $\hat\omega = \omega - m\,\Omega(r)$; $\xi = \tilde k\,v_\perp/\varkappa$; $\alpha'=\alpha(t') = \alpha + \varkappa(t - t')$. Затем с помощью разложения производящей функции [38]

$$\exp\{i\,\xi\sin(\delta)\} = \sum\limits_{n=-\infty}^\infty J_n(\xi)\, \exp\{i n \delta\} %\eqno(2.2.21)$$ (2.65)

в ряд по функциям Бесселя первого рода $J_n(\xi)$ интегрируем (2.64) по времени $t'$. В результате получаем

$$g_1 = -\langle\Phi_{1,0}\rangle\sum\limits_{n=-\infty}^\inf... ...p[i\,\xi\sin(\alpha - \beta) - i\,n\,(\alpha - \beta)]\times$$

$$\times\left\{n\,\varkappa\,{\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_1} +... ...in(\beta) \o \varkappa}{\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_2}\right\}.$$ (2.66)

Объемная плотность диска, создаваемая возмущенной функцией распределения (2.52) с определяемой по (2.66) величиной $g_1(t)$, может быть получена интегрированием последней по пространству скоростей. В случае равновесного диска [см. (2.42)] эта операция с учетом разложения (2.65) приводит к следующему выражению:

$$\rho_1 = \int f_{1,-3} dv_r dv_\varphi dv_z = {\rho_{*0}(r_... ...fty}^{\infty}(\langle \Phi_{1,0}\rangle - \Phi_{1,0}) \times$$

$$\times \exp\{-v_z^2/2\,c_z^2\}dv_z - {2\,\pi\,\varkappa \o ... ... \o \hat\omega - n\,\varkappa}\langle\Phi_{1,0}\rangle\times$$

$$\times\left\{ n\,\varkappa\,{\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_1} ... ...in(\beta) \o \varkappa}{\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_2}\right\}.$$ (2.67)

Поляченко и Фридман [163] показали, что возмущения в плоскости диска, исследованию свойств которых и посвящен этот раздел, в рамках линейной теории в модели тонкого диска отщепляются от изгибных (мембранных) колебаний диска. В последних локальная поверхностная плотность не возмущается, а возмущения объемной плотности имеют ``дипольный'' вид. Поэтому при описании свойств возмущений в плоскости диска в выражении (2.67) необходимо отбросить члены, не дающие вклада в возмущенную поверхностную плотность:

$$\s_1 = \int_{-\infty}^{\infty}\rho_1 dz. %\eqno(2.2.24)$$ (2.68)

Нетрудно видеть, что именно первый член в (2.67) не дает вклада в $\s_1$. Действительно, интегрируя по $z$-координате с учетом (2.43) величину $\rho_{*0}(r_0,z)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi_{1,0}\exp\{- v^2_z/2\,c^2_z\} dv_z$, получим

$$\int_{-\infty}^\infty \rho_{*0}(r_0,z) dz \int_{-\infty}^\i... ...Phi_{1,0}\exp\{-v_z^2/2\,c^2_z\}dv_z = \rho_{*0}(r_0,0)\times$$

$$\times\int_0^\infty dE_z \oint dw\,\Phi_{1,0}\exp(-E_z/c_... ..._0^\infty dE_z\langle\Phi_{1,0}\rangle %\times \eqno(2.2.25)$$ (2.69)

$$\times\oint dw\,\exp\left({-E_z\o c_z^2}\right) = \!\!\int... ...ngle\Phi_{1,0}\rangle\exp\left(-{v^2_z\o 2c^2_z}\right)dv_z .$$

Для вычисления возмущенной объемной плотности, обусловленной вторым членом в (2.67), используем конкретный вид равновесной функции распределения звезд $f_{0,-3}$ (2.42). Кроме того, в соответствии с данными наблюдений (см. § 1.1), показывающими, что характерные толщины звездных дисков галактик слабо меняются вдоль радиальной координаты, будем считать $\Delta_*(r_0)=$ const. В этом случае с учетом (2.40) имеем три независимых параметра звездного диска, в качестве которых выберем величины $\s_{*0}$, $\Omega$, $c_r$. Тогда из (2.33) следует:

$${\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_1} = -{f_{0,-3} \o c^2_r}, %\eqno(2.2.26)$$ (2.70)

$${\Vert f_{0,-3} \o \Vert I_2} = f_{0,-3}{\Vert\ln(2\,\Omeg... ...rt f_{0,-3} \o \Vert c^2_r} {dc^2_r \o dr_0}. %\eqno(2.2.27)$$ (2.71)

Интегрируя затем (2.68) по $I_1$, $v_z$ и отбрасывая в соответствии со сказанным выше члены, не дающие вклада в возмущенную поверхностную плотность диска, получим

$$\rho_1 = -{\s_{*0}\Phi_{1,0} \o 2\,\Delta_* c^2_r {\rm ch... ...ty}^\infty {\hat\omega \o \hat\omega - n\, \varkappa} \times$$

$$\times \biggl[1 - {\omega_* \o \hat\omega}\left(1+\xi+2\,... ... \right)\biggr] I_n(\tilde z)\,\exp\{-\tilde z\}\biggr\} \,,$$ (2.72)

где $\tilde z = \tilde k^2 c^2_r/\varkappa^2$; $I_n(\tilde z)$ -- модифицированные функции Бесселя первого рода,

$$\omega_* = {\tilde k\,\sin(\beta) \o \varkappa}\,c^2_r{\Vert\ln(\s_{*0}) \o \Vert r_0}, %\eqno(2.2.29)$$ (2.73)

$$\xi = {\Vert\ln(2\,\Omega/\varkappa) \o \Vert\ln(\s_{*0})}... ... \eta = {\Vert\ln(c_r) \o \Vert\ln(\s_{*0})} %\eqno(2.2.31)$$ (2.74)

и учтено, что [38]: $\Oo \sum_{n=-\infty}^\infty I_n(x)\,e^{-x} = 1$.

2.2.3 Дисперсионное уравнение

Возмущения плотности диска $\rho_1$ приводят к возмущениям гравитационного потенциала $\Phi_1$, и связь между этими величинами определяется уравнением Пуассона [см. (2.3)]:

$${\Vert \o r\,\Vert r}\left(r\,{\Vert\Phi_1 \o \Vert r}\rig... ...varphi^2} + {\Vert^2\Phi_1 \o \Vert z^2} = 4\,\pi\,G\,\rho_1.$$ (2.75)

В рассматриваемом нами ВКБ-приближении это уравнение для гармоник возмущенного потенциала, характеризуемых волновым числом $k = \sqrt{k^2_r + m^2/r^2}$, приобретает вид

$${\Vert^2\Phi_{1,0} \o \Vert z^2} - k^2\Phi_{1,0} = -{\hat\... ...i_{1,0} \o \Delta^2_*{\rm ch}^2(z/\Delta_*)}, %\eqno(2.2.34)$$ (2.76)

где величина $\hat\mu$ определяется из (2.72) и тождества

$$\rho_1 \equiv -{\hat\mu\,\Phi_{1,0} \o 4\,\pi\,G\,\Delta^2_*{\rm ch}^2(z/ \Delta_*)}. %\eqno(2.2.35)$$ (2.77)

Уравнение (2.76) похоже на уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме $U = - U_0 /{\rm ch}^2(z/\Delta_*)$ вдоль $z$- координаты [89]. Однако для (2.76) задача поставлена несколько по-иному: для фиксированного значения ``энергии'' ($-k^2$) необходимо найти ``глубину потенциальной ямы'' ( $\hat\mu/\Delta^2_*$), в которой может существовать заданный ``уровень энергии'' ($-k^2$). Нетрудно видеть, что минимальная глубина такой ямы определяется безузловой в $z$-направлении собственной функцией

$$\Phi_{1,0} = const\,\cdot\,{\rm ch}^{-k\Delta_*}(z/\Delta_*) \,,$$ (2.78)

а соответствующее ей значение ``глубины ямы'' -- соотношением ^2.7

$${\hat\mu \o \Delta^2_*} = (1 + k\,\Delta_*)\,{k \o \Delta_*}.$$ (2.79)

Используя затем этот результат и определение $\hat\mu$ по (2.72), (2.77), получаем искомое дисперсионное уравнение, описывающее динамику возмущений в звездном диске с волновым вектором, лежащим в его плоскости:

$${k\,c^2_r(1 + k\,\Delta_*) \o 2\,\pi\,G\,\s_{*0}} = 1 - \le... ...eta\,\tilde z\,{\Vert \o \Vert \tilde z}\right)\right]\times$$

$$\times\left(I_0(\tilde z)\,\exp(-\tilde z) + 2\,\sum_{n=1}... ...\o \hat\omega^2 - n^2\varkappa^2} \right) \,. %\eqno(2.2.38)$$ (2.80)

Нетрудно видеть, что это дисперсионное уравнение в пределе осесимметричных ($m=0$ и, следовательно, $\omega_* \equiv 0$) возмущений в модели тонкого ($\Delta_* = 0$) диска тождественно совпадает с дисперсионным уравнением Лина и Шу [586] (см. также в монографиях Фридмана и Поляченко [163, 420]).

2.2.4 Гравитационные и градиентные неосесимметричные возмущения

Исследуем дисперсионные свойства возмущений, описываемых уравнением (2.80), частота которых в системе отсчета, вращающейся вместе с веществом диска, меньше эпициклической ( $\vert\hat\omega\vert < \varkappa$). Для приближенного вычисления этих частот в (2.80) можно опустить члены ряда с $n \ge 2$. Упрощенное таким образом дисперсионное уравнение приобретает вид

$$k\,k_T\rho^2(1 + k\,\Delta_*) = 1 - \left[1 - {\omega_* \o ... ...eta\,\tilde z\,{\Vert \o \Vert \tilde z}\right)\right]\times$$

$$\times\left[a(\tilde z) + 2\,{\hat\omega^2 \o \hat\omega^2 - \varkappa^2}\, b(\tilde z)\right], %\eqno(2.2.39)$$ (2.81)

где $a(\tilde z) = I_0(\tilde z)\,e^{-\tilde z}$; $b(\tilde z) = I_1 (\tilde z)\,e^{-\tilde z}$; $\rho = c_r/\varkappa$; $k_T = \varkappa^2/2\,\pi\,G\, \s_{*0}$.

Если рассматривать только осесимметричные возмущения ($m=0$ и, следовательно, $\omega_* = 0$), то (2.81) описывает две гравитационные (джинсовские) ветви колебаний звездного диска, частоты которых различаются знаком:

$$\hat\omega^2 = \varkappa^2\,{1 - a\,(k^2\rho^2) - k\,k_T\r... ...k^2\rho^2) - k\,k_T\rho^2 (1 + k\,\Delta_*)}. %\eqno(2.2.40)$$ (2.82)

В приближении тонкого ($\Delta_* = 0$) диска Тоомре было показано, что такие возмущения устойчивы [ ${\rm Im}(\hat\omega) = 0$] при выполнении условия

$$c_r \ge c_T = {3,\!36\,G\,\s_{*0} \o \varkappa}. %\eqno(2.2.41)$$ (2.83)

В тонком диске, обладающем дисперсией радиальных скоростей $c_r \equiv c_T$, радиальный масштаб маргинально устойчивых осесимметричных возмущений может быть определен из соотношения

$$k_r = k_0 = 0,\!974\,\varkappa/c_T. %\eqno(2.2.42)$$ (2.84)

Учет стабилизирующего влияния конечной толщины звездного диска, предварительный анализ которого был проведен еще в работе Тоомре [851], показывает, что в рамках модели (2.42) такой диск устойчив при выполнении условия [866]

$$c_r \ge c_{TV} \simeq c_T (1 + 0,\!974\,\Delta_*\varkappa/c_T)^{-1}. %\eqno(2.2.43)$$ (2.85)

Перейдем к изучению спектра неосесимметричных возмущений. Предварительно заметим, что $\vert\omega_*/\varkappa\vert \sim k_\varphi\rho^2/ L_\s \,\lee\, (k\,\rho)^2/k\,L_\s$. С учетом того, что для наиболее близких к порогу неустойчивости возмущений в маргинально устойчивом по Тоомре-Вандервоорту диске $k\,\rho \sim 1$, а также условия (2.60) это означает, что для таких возмущений

$$\vert\omega_*/\varkappa\vert \ll 1. %\eqno(2.2.44)$$ (2.86)

В длинноволновой части спектра ($k < k_T$) в маргинально устойчивом по Тоомре диске условие (2.86) тоже выполняется и, следовательно, эффекты неоднородности диска малы. В этом пределе законы дисперсии двух гравитационных ветвей колебаний звездного диска согласно (2.81) имеют вид mm

$$\hat\omega_{1,2} = \pm\varkappa\,[1 - \tilde k^2/k\,k_T(1 + k\,\Delta_*)]^ {1/2} +$$

$$+{\omega_* \tilde k^2 [1 + \xi + 2\,\eta - (1 + \xi)/k\,k_... ...,k_T(1 + k\,\Delta_* - \tilde k^2/k\,k_T)}\,. %\eqno(2.2.45)$$ (2.87)

Кроме этих ветвей дисперсионное уравнение (2.81) предсказывает существование еще одной -- градиентной ветви ^2.8 неосесимметричных возмущений, закон дисперсии которой имеет вид

$$\hat\omega_3 \simeq \omega_*\,{[1+\xi - \tilde k^2\rho^2(1... ...\eta)] \o k\,k_T\rho^2(1 + k\,\Delta_* - \tilde k^2/k\,k_T)}.$$ (2.88)

По порядку величины в длинноволновой ($k < k_T$) области $\vert\hat\omega_{1,2} \vert \sim \varkappa$; $\vert\hat\omega_3\vert \,\lee\, \varkappa/k_T L \ll \varkappa$.

В коротковолновой же части спектра ($k \gg k_T$), используя асимптотику модифицированных функций Бесселя, из (2.81) получим

$$\hat\omega_{1,2} \simeq \pm\varkappa\biggl\{1 - {1 \o \sq... ... \o [k\,k_T\rho^2(1 + k\,\Delta_*) - 1] + 3}\biggr\}^{1/2} +$$

$$+~{\hat\omega_3 \sqrt{2\,\pi\,\tilde z}\, [k\,k_T\rho^2(... ...de z}\, [k\,k_T\rho^2(1 + k\,\Delta_*) -1] + 3}\,, %(2.2.47)$$ (2.89)

$$\hat\omega_3 \simeq {\omega_*(1 + \xi - \eta) \o \sqrt{2\,... ...de z}\, [k\,k_T\rho^2(1 + k\,\Delta_*) -1] + 1}\,. %(2.2.48)$$ (2.90)

В этой области длин волн тоже $\vert\hat\omega_{1,2} \vert \sim \varkappa$; $\vert\hat\omega_3\vert \,\lee\, \varkappa/k_T L\,k\,\rho \ll \varkappa$.

Таким образом, как в длинноволновой, так и в коротковолновой частях спектра градиентная ветвь $\hat\omega_3$ является низкочастотной и хорошо отделена от гравитационных ветвей. Все три ветви в этих частях спектра оказываются устойчивыми в маргинально устойчивом относительно осесимметричных возмущений диске.

Иной результат получается в промежуточной области длин волн $\tilde z\sim~\!\!1$. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим простую модель тонкого ($\Delta_* = 0$) твердотельно вращающегося ( $\varkappa \equiv 2\,\Omega$) неоднородного диска, в котором $c_r \equiv c_T$ (тем самым масштабы неоднородностей $\s_{*0}$ и $c_r$ одинаковы и, следовательно, $\eta = \Vert\ln c_r/\Vert\ln\s_{*0}=1$). В малой окрестности $q = (k - k_0)\,c_T/\varkappa$ маргинально устойчивых по Тоомре возмущений с $k = k_0$ [см.(2.84)] дисперсионное уравнение (2.81) принимает вид

$$x^3 + 1,\!4\,\nu\,x^2(1 - 1,\!111\,q - 0,\!473\,q^2) - 0,\!121\,q^2x ~+$$

$$+~ 0,\!097\,\nu\,(1 + 9,\!65\,q - 24,\!4\,q^2) = 0, %\eqno(2.2.49)$$ (2.91)

где $x = \hat\omega/\varkappa$; $\nu = (c_T/\varkappa\,L_\s)\sin(\Theta)$; $\sin(\Theta) = m/kr$, а величина $\s_{*0}$ в соответствии с данными наблюдений полагалась убывающей к периферии диска. В (2.91) мы ограничились разложением членов уравнения (2.81) в ряды по степеням $\,q\,$ до второй включительно, имея в виду кроме вычисления частот колебаний диска определить еще и тип неустойчивости.

Полагаем диск слабонеоднородным: $\nu \ll 1$. Тогда в главном порядке по $\nu$ из (2.91) для частот колебаний диска следует:

$$\hat\omega_{1,3} \simeq 0,\!23\,\nu^{1/3}\varkappa\,(1 + 3... ... 18,\!3 \,q^2)(1 + O(\nu^{2/3}) \pm i\sqrt 3), %\eqno(2.2.50)$$ (2.92)

$$\hat\omega_2 \simeq -0,\!46\,\nu^{1/3}\varkappa\,(1 + 3,\!22\,q - 18,\!3\, q^2) + O(\nu^{2/3}). %\eqno(2.2.51)$$ (2.93)

Неустойчивость рассматриваемой модели в области джинсовских длин волн ($k = k_0$) очевидна. В чем же ее причина?

Известно, что в маргинально устойчивом по Тоомре диске в окрестности точки $k = k_0$ частоты обеих гравитационных ветвей осесимметричных возмущений пропорциональны $(k - k_0)^2$. Ясно, что в некоторой малой (в силу $\vert\omega_*\vert \ll \varkappa$) окрестности $k = k_0$ частота градиентных возмущений окажется сравнимой с частотой одной из гравитационных ветвей неосесимметричных возмущений. Тогда взаимовлияние этих ветвей, искажая спектры возмущений, приведет к неустойчивости неосесимметричных возмущений. Таким образом, причиной гравитационно-градиентной неустойчивости (2.92) является неоднородность диска. Природа же этой неустойчивости, очевидно, гравитационная.

Гравитационно-градиентная неустойчивость принадлежит к типу ``абсолютных'', то есть таких, при возбуждении которых амплитуда возмущений растет в каждой точке пространства, движущейся вместе с веществом диска. Действительно, неустойчивость является ``абсолютной'', а не ``конвективной'' (в этом случае неустойчивое возмущение сносится течением так быстро, что в каждой точке пространства возмущения со временем стремятся к нулю), если выполняется условие [67]

$$U^2_{gr} \equiv \left({\Vert {\rm Re}(\hat\omega) \o \Vert... ...\,{\hat\alpha^2 + \hat\beta^2 \o \hat\alpha}, %\eqno(2.2.52)$$ (2.94)

где $\hat\alpha = -\Vert^2{\rm Im}(\hat\omega)/\Vert k^2$; $\hat\beta = \Vert^2{\rm Re} (\hat\omega)/\Vert k^2$. Нетрудно видеть, что для возмущений с $k = k_0$ $(q \equiv 0)$ $U_{gr} \simeq 0,\!75\,\nu^{1/3}c_T$ и $U_{крит} \simeq 4\, \nu^{1/3}c_T$. Тем самым условие (2.94) для гравитационно-градиентной неустойчивости выполняется.

Впервые градиентная ветвь была получена Хантером [500] в модели холодного ($c_r \equiv 0$) гравитирующего диска. Описанные здесь результаты относятся к достаточно горячему ( $c_r \simeq c_T$) бесстолкновительному диску. Тем не менее результат Хантера вытекает из дисперсионного уравнения (2.80) при выполнении цепочки неравенств $k_T\rho \ll k\,\rho \ll 1$ (в реальных системах $k_T\rho \sim 1$).

2.3 Физика гpавитационной неустойчивости

Главным ``возмутителем спокойствия'' в изучаемых нами дисках является гравитация. Гравитационное взаимодействие между разными частями системы (часто говорят ``самогравитация'') сжимает вещество, оно стремится упасть само на себя. Этот процесс называют гравитационной или джинсовской неустойчивостью. Он приводит к перераспределению массы -- в одной области плотность растет, в другой по необходимости уменьшается. Ряд факторов противостоит самогравитации, другие помогают ей. Прежде чем перейти в следующих разделах к строгому изложению, обсудим физику гравитационной неустойчивости, попытаемся качественно понять, как различные свойства системы влияют на стремление самогравитации ``сжать вещество в точку''. Джинсовская неустойчивость обладает схожими чертами в звездном и газовом дисках, поэтому мы рассмотрим здесь и газовую систему (см. подробнее гл. 4), тем более, что она для анализа проще. При этом нагляднее проявятся и различия между ними и выяснится, какое влияние на гравитационную устойчивость звездного диска может оказать газовая подсистема. Для нас сейчас все отличие газа от звезд заключается в столкновительности первого, тем самым он описывается уравнениями газодинамики.

Все формулы данного раздела будут получены в последующем, поэтому сейчас укажем только основные приближения, в рамках которых они получены. Это эпициклическое приближение (см. (2.13)), диск считается тонким (см. (2.11)), возмущения лежат в плоскости диска и являются коротковолновыми (см. (2.60)). Отметим, что все приведенные здесь соотношения для звездного диска вытекают из дисперсионного уравнения (2.80), а для газового -- из (). Индексы ``$\ast$'', ``$g$'' указывают соответственно на принадлежность величины к звездному или газовому диску. Для составления всестороннего понимания механизма гравитационной неустойчивости рекомендуем также обратиться к монографиям Поляченко и Фридмана [163, 420], Рольфса [739], Саслау [181].

2.3.1 Самогравитация

Пренебрежем влиянием всех факторов, кроме самогравитации, то есть рассмотрим плоский холодный ^2.9  бесконечно тонкий гравитирующий слой ^2.10. В такой модели при сжатии не возникает противодействующей силы. Вещество, ускоряясь, падает на область повышенной плотности, все более увеличивая величину плотности и тем самым силу притяжения. Развивается гравитационная неустойчивость (коллапс), частота возмущений которой является чисто мнимой

$$\omega^2_* = \omega^2_g = - 2\,\pi\,G\,\s_0 k, %\eqno(2.3.1)$$ (2.95)

${\rm Re}(\omega) \equiv 0$, то есть, как и следовало ожидать, из-за отсутствия возвращающей силы колебательного процесса нет. Причем для холодных систем нет различия между бесстолкновительной и газодинамической средами. Вещество падает само на себя для любых начальных возмущений, но наиболее быстро растут мелкомасштабные (большие $k$), и этим гравитирующий слой отличается от однородной во всех направлениях среды плотности $\rho_0$, для которой $\omega^2 = - 4\, \pi\,G\,\rho_0$. Последнюю формулу легко понять на следующем примере. Если в начальный момент времени расстояние между двумя одинаковыми неподвижными относительно друг друга гравитационно взаимодействующими телами равно $a$, то через время $t_0=\pi/2(a^3/2 m G)^ {1/2}$ частицы столкнутся (это значение легко получить из третьего закона Кеплера). Принимая для оценок среднюю плотность такой системы $\rho_0 = 2\,m/({ {4\o 3}}\,\pi\,a^3)$, получаем $t_0 \simeq 1/\sqrt{G\,\rho_0}$. Мнимая часть частоты (инкремент) обратна характерному времени роста возмущений и по порядку величины ${\rm Im}(\omega) \sim 1/t_0 \sim \sqrt {G\,\rho_0}$.

Ниже мы будем последовательно включать в рассмотрение учет хаотического движения частиц, вращения диска, различных неоднородностей равновесных величин и т. п. Некоторые факторы делают диск более неустойчивым (увеличивают инкремент), и их естественно называть дестабилизирующими. Другие приводят к уменьшению инкремента вплоть до стабилизации гравитационной неустойчивости.

2.3.2 Хаотическое движение

Как хорошо известно, если рассмотренные выше две гравитационно взаимодействующие частицы обладают моментом количества движения (первоначально движутся не вдоль одной прямой), то такое относительное ``случайное'' движение может предотвратить столкновение. При переходе к системе с большим количеством частиц роль этих случайных движений выполняет тепловое движение (``температура''), и оно работает против гравитационного скучивания. Если возникает область повышенной плотности размером $\lambda \sim 1/k$, то звезды за счет случайного движения могут покинуть опасную зону, уменьшить плотность в ней и тем самым остановить падение окружающего вещества. Условием устойчивости является превышение типичной скорости звезды $c_r$ над характерной скоростью гравитационного падения $\sim \lambda/t_0 \sim \sqrt{G\,\sigma_0/k}$, что приводит к требованию $k \,\gee\, G\,\s_0/c^2_r$. Естественно, малое по размеру возмущение легче стабилизируется хаотическим движением. В случае газа аналогичную оценку можно получить из условия равенства характерного времени гравитационного падения и времени прохождения через область размером $\lambda \sim 1/k$ звуковой волны в газе. При возникновении сжатия начинает распространяться звуковая волна. Если характерное время гравитационного нарастания $t_0$ превышает период колебаний $\tau = 2\pi/\omega = 2\pi/k\,c_s$, то возмущения устойчивы: на быстро движущуюся волну вещество падать не успевает. Опираясь на эту оценку, можно попытаться обобщить (2.95) на случай конечных значений $c_s$:

$$\omega^2_g = c^2_s k^2 - 2\,\pi\,G\,\s_{g0} k. %\eqno(2.3.2)$$ (2.96)

Как видим, случайное движение частиц может стабилизировать короткие волны (из (2.96) для газа $k > 2\,\pi\,G\,\s_{g0}/c^2_s$), но бессильно против длинных.

2.3.3 Вращение

Учет вращения трансформирует плоский слой в собственно диск и делает устойчивыми длинноволновые осесимметричные ($\!k = k_r\!$) возмущения. Это легко понять из следующих рассуждений. Если область размером $\lambda \sim 1/k$ твердотельно вращающегося с угловой скоростью $\Omega$ однородного диска сжать на $\Delta r \ll \lambda$, то в силу закона сохранения момента импульса вещество на радиусе ( $\!R - \Delta r\!$) будет вращаться с $\Omega' = \Omega\,R^2/(R - \Delta r)^2\!$. В результате появляется возвращающая центробежная сила $(R - \Delta r)\, \Omega'^2 - (R - \Delta r)\,\Omega^2 \simeq 4\,\Omega^2\Delta r$ с точностью до малого $\Delta r/\lambda$. Если мы сравним ее с дополнительной гравитационной силой притяжения, связанной со сжатием диска $\pi\,G\,\s_0\lambda^2(1/(\lambda - \Delta r)^2 - 1/\lambda^2) \simeq - 2\,\pi\,G\,\s_0\Delta r/\lambda$, то увидим, что устойчивы будут только крупномасштабные возмущения $\lambda \sim 1/k \,\gee\, \pi\, G\,\s_0/2\,\Omega^2$. Дисперсионное соотношение для звуковых волн во вращающейся среде имеет вид $\omega^2 = 4\,\Omega^2 + k^2 c^2_s$ (первое слагаемое описывает эпициклические колебания), и уравнения (2.95), (2.96) можно обобщить:

$$\omega^2_g = \varkappa^2 - 2\,\pi\,G\,\s_{g0} k + k^2 c^2_s$$ (2.97)

( $\varkappa = 2\,\Omega$ в случае твердотельного вращения). Если пренебречь хаотическим движением ($c_s = 0$), то условие устойчивости $\omega^2 \ge 0$ приводит нас к полученному выше ограничению на волновое число. Уравнение (2.97) удобно записать в безразмерном виде: $\nu^2_g \equiv \omega^2_g/\varkappa^2 = 1 - 2K + Q^2_g K^2$ ($\!K = k/k_0$, $Q_g = c_s/c_0$, $k_0 = \varkappa^2/\pi\,G\,\s_{g0}$, $c_0 = \pi\,G\,\s_{g0}/\varkappa)$. Как мы выяснили, длинные волны стабилизирует вращение, а короткие -- хаотическое движение частиц. Условия

$$\nu^2_g = 0,\qquad {d\nu^2_g \o dK} = 0 %\eqno(2.3.4)$$ (2.98)

определяют границу устойчивости. Решение системы (2.98) не вызывает затруднений, и $K = 1$, $Q_g = 1$. На рис. 2.1$\!$а показаны дисперсионные кривые для достаточно горячих ( $\!Q_g = 1.2;\,1\!$) и, следовательно, устойчивых дисков. Две джинсовские ветви симметричны относительно оси абсцисс. В случае $Q_g = 1$ диск находится на границе устойчивости. Если уменьшить значение этого параметра ($\!Q_g < 1\!$), то возмущения с $k~\simeq k_0$ окажутся неустойчивыми (рис. 2.1$\!$б). Минимум функции $\nu^2_g(K)$ определяет наиболее неустойчивые волновые числа, для которых $k = k_0/Q^2_g$. Как видим, значение единственного параметра $Q_g$ полностью определяет устойчивость модели. Условие $Q_g = 1$ разграничивает гравитационно устойчивые и неустойчивые системы.

Figure: Зависимость частоты джинсовских колебаний $\nu =~ \omega/ \varkappa$ от безразмерного волнового числа $K$. Для газового диска: а -- тонкая линия -- , жирная -- $Q_g = 1$; б -- для случая $Q_g = 0,\!8$ сплошная линия -- Rе($\omega$), пунктирная -- Im($\omega$). На в-г аналогичные зависимости для звездного диска

=0.34

Хотя для бесстолкновительного звездного диска дисперсионное уравнение имеет более сложный вид, условие устойчивости мало отличается от случая газового диска. На рис. 2.1$\!$в,$\!$г показаны две джинсовские ветви в области $\omega \le \varkappa$^2.11. Они аналогичны гравитационным ветвям газового диска (рис. 2.1$\!$а,$\!$б), но их поведение различается в области малых длин волн. Различие связано с особенностями хаотического движения в столкновительной и бесстолкновительной системах. В первой возникают звуковые волны, во второй для мелкомасштабных возмущений случайное движение не приводит к волновому процессу, и закон дисперсии определяется вращением $\omega \simeq \pm \varkappa$. Как мы знаем, в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью $\Omega$, траектория движения звезды в модели твердотельно вращающегося диска представляет собой окружность с характерным эпициклическим радиусом $\rho = c_r/\varkappa$ (см. п. 1.1.3). Поэтому только возмущения с $k \simeq 1/\rho$ испытывают значительное влияние случайного движения звезд.

В случае бесстолкновительного диска роль параметра $c_0$ играет паpаметp Тоомpе $c_T = 3,\!36\,G\,\s_{*0}/\varkappa$ [851], и для устойчивости необходимо $Q_* = c_r/c_T \ge 1$. Волновое число удобно нормировать на величину $1/\rho_T$ ( $\rho_T = c_T/\varkappa$ -- эпициклический радиус при $c_r = c_T$). Тогда на границе устойчивости ( $\!\omega_* = 0$, $Q_* = 1\!$) находятся волны с $K \equiv k\,\rho_T = 0,\!974$ (см. рис. 2.1$\!$в). При $Q_* < 1$, как и в случае газового диска, возмущения с $K \simeq 1$ оказываются абсолютно неустойчивыми, поскольку для них ${\rm Re}(\omega) \equiv 0$ (рис. 2.1$\!$г). Заметим, что поскольку в галактиках $\s_{g0}/ \s_{*0} \ll 1$, то $k_0\,\rho_T \gg 1$.

2.3.4 Функция распределения звезд по скоростям.
Звездно-газовые системы

Устойчивость звездных и газовых дисков определяется значениями параметров $c_0 = \pi\,G\,\s_{g0}/\varkappa$ и $c_T = 3,\!36\,G\,\s_{*0}/\varkappa$ соответственно, которые формально совпадают с точностью до числового коэффициента. Замена $\pi$ на $3,\!36$ обусловлена бесстолкновительностью системы и конкретным выбором функции распределения звезд по скоростям $f(\vec v)$ (2.32). Как уже упоминалось, функция вида (2.32) описывает реальные распределения скоростей звезд приближенно [30, 107, 223, 224]. Связано это со звездообразованием, усиливающимся при прохождении спиральной волны плотности, бесстолкновительностью системы в смысле звездно-звездного взаимодействия (проблема релаксации и начальных условий) и, как следствие, с дискретностью звездного населения по кинематике. Построение функции распределения $f(\vec v)$ непосредственно из наблюдений в солнечной окрестности Галактики дает систематическое отклонение от (2.32) [223, 224]. Как и ранее, считаем диск бесконечно тонким и однородным. По определению, функция распределения удовлетворяет условиям:

$$\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty f... ...r f(\vec v)\, dv_\varphi dv_r = \s_{*0} c^2_r. %\eqno(2.3.5)$$ (2.99)

Figure: Функции распределения длины вектора скорости : a -- шварцшильдовская $(s)$, с избытком медленных звезд $(1)$, с избытком горячих звезд $(2)$; б -- для многокомпонентного диска пpи различных $\alpha =~\s_2/\s_1$ и $\beta = c_2/c_1$

=0.435

Одну и ту же дисперсию скоростей можно создать различным распределением скоростей. Обсудим, как могут повлиять возможные отклонения функции распределения от шварцшильдовской $f_s$ (2.32). На рис. 2.2$\!$а изображены два качественно разных случая, различающихся избытком медленных звезд $f_1$ и их недостатком $f_2$ в сравнении с функцией $f_s$. Во всех трех случаях величина $c_r$ по (2.99) одна и та же. Для гравитационной устойчивости модели с $f_1$, чтобы стабилизировать подсистему медленных частиц, требуется в целом сильнее разогреть систему, то есть минимально необходимая для устойчивости дисперсия скоростей $c_{крит}$ должна превышать $c_T$. В случае с $f_2$ для устойчивости будет достаточно $c_{крит} < c_T$.

Звездное население дисков плоских галактик можно разбить на $N$ подсистем, каждая из которых характеризуется своей поверхностной плотностью $\s_j$ и дисперсией $c_j$, так что в силу (2.99)

$$\sum\limits_{j=1}^N \s_j = \s_{*0},\qquad \sum\limits_{j=1}^N \s_j c^2_j = \s_{*0} c^2_r. %\eqno(2.3.6)$$ (2.100)

Предположим, что каждая подсистема описывается шварцшильдовским распределением $f_j = {\Oo{\s_j \o 2\pi c^2_j}}\,\exp(- v^2/2\,c^2_j)$. На рис. 2.2$\!$б показаны функции распределения длины вектора скорости для $N = 1$, $N=2$ пpи различных отношениях $\s_1/\s_2$ и $c_1/c_2$. Под холодной и маломассивной подсистемой ($\s_2 < \s_1$ и $c_2 < c_1$) можно понимать молодые звезды. Для гравитационной стабилизации такой модели необходимо в целом сильнее разогреть систему $Q_* = c_r/c_T >1$. Очевидно, что при любое соотношение наборов $\s_j$, $c_j$ (естественно, удовлетворяющих условиям (2.100)) дает более неустойчивый диск по сравнению с $N = 1$, поскольку в таких моделях всегда имеется избыток холодных звезд. Расчеты с наблюдаемой функцией распределения скоростей звезд вблизи Солнца говорят о том, что поправка эта невелика и составляет не более 15 %.

В рамках обсуждаемого здесь подхода рассмотрим звездно-газовый диск. Характерная скорость газовых облаков $c_s$ существенно меньше дисперсии скоростей звезд $c_r$. Кроме того, $\s_{g0} < \s_{*0}$. С этой точки зрения учет газовой подсистемы эквивалентен наличию молодых звезд, что, как мы видели, является дестабилизирующим фактором (см. подробнее п. 5.1.1).

2.3.5 Конечная толщина диска

Figure: К вопросу о влиянии толщины диска на гравитационную устойчивость системы. Здесь $y =-\omega ^2/4\,\pi \,G\,\rho _0$

=0.5

Чтобы ответить на принципиальный вопрос о том, является конечная толщина диска $2\,\Delta_*$ стабилизирующим или дестабилизирующим фактором, обратимся к уравнению (2.95) и запишем его в виде $\omega^2_* =~ -4\,\pi\,G\,\rho_0\,k\,\Delta_*$, где средняя плотность $\rho_0 = \sigma_{*0}/2\,\Delta_*$. Естественно, оно справедливо только в пределе $k\,\Delta_* \rightarrow 0$. Мы показали в п. 2.3.1, что в обратном пределе $k\,\Delta_* \gg 1$ справедливо $\omega^2_* = -4\,\pi\,G\, \rho_0$. Как видно из рис. 2.3, следует ожидать стабилизирующего влияния толщины диска на его гравитационную устойчивость. Действительно, величина $\Delta_*$ и поверхностная плотность $\sigma_{*0}$ входят в дисперсионное уравнение (2.80) только в комбинации $\sigma_{*0}/(1 + k\,\Delta_*)$, что уменьшает инкремент при $k\,\Delta_* > 0$. Поскольку наиболее неустойчивые возмущения обладают $k = 0,\!974/\rho_T$, можно обобщить критерий устойчивости звездного диска с учетом $\Delta_*$ и записать

$$Q_* = {c_r \o c_T} \ge {1 \o 1 + 0,\!974\,\Delta_*\varkappa/c_T} \,. %\eqno(2.3.7)$$ (2.101)

Аналогичные рассуждения справедливы для газового диска конечной толщины $2h$: $Q_g \ge 1/(1 + h k_0)$.

2.3.6 Дифференциальность вращения

Выше рассматривались осесимметричные колебания $k = k_r$, что оправданно для однородного твердотельно вращающегося диска, поскольку учет неосесимметричных возмущений [ $\propto \exp\{im\varphi + ik_r r - i\omega t\}$] приводит только к допплеровскому сдвигу частоты $\omega \rightarrow \hat\omega \equiv \omega - m\Omega$ и не сказывается на устойчивости. В дифференциально вращающемся диске с $\Omega(r)$ осесимметричные возмущения описываются дисперсионным уравнением (2.97) для $\varkappa^2 = 4\Omega^2 + r\,d\Omega^2/ dr$. Существеннее другое. Зависимость угловой скорости от $r$ приводит к тому, что более неустойчивыми становятся неосесимметричные (``косые'') возмущения ( $k_\varphi = m/r \neq 0$). Рассмотрим физику этого эффекта отдельно для звездного и газового дисков.

При построении равновесной модели звездного диска в п. 2.1.2 мы получили $c_\varphi /c_r =\varkappa / 2\Omega =(1 + r\,d\Omega / 2\Omega dr)^{1/2}$, и для угловой скорости вращения $\Omega$, убывающей с радиусом, выполняется $c_\varphi < c_r$. С учетом дифференциальности вращения, траектория движения звезды становится эллипсом с характерными масштабами осей $a_r = c_r/\varkappa$ и $a_\varphi = 2\Omega\,a_r/\varkappa > a_r$ (рис. 2.4). При движении по эллипсу в среднем скорость звезды в азимутальном направлении меньше, чем в радиальном, и неосесимметричные возмущения (в пределе ``спицеобразные'') труднее подавить по сравнению с осесимметричными. Дисперсия азимутальных скоростей определяет упругость среды для косых возмущений, и для подавления гравитационной неустойчивости необходимо в $2\Omega /\varkappa$ раз сильнее разогреть диск. Таким образом, устойчивость определяется меньшей из величин $c_r$ и $c_\varphi$:

где $\Omega \propto r^{-n}$.

Figure: К вопросу об устойчивости дифференциально вращающегося звездного диска

=0.48

Рассмотрим газовый диск. Из-за столкновительности ``макромолекулы'' газа не движутся по эпициклам, и давление является изотропным в радиальном и азимутальном направлениях. Дестабилизирующее влияние дифференциальности вращения связано с действием двух факторов. Во-первых, меняется закон дисперсии неосесимметричных звуковых волн (2.97). Этот эффект связан с действием силы Кориолиса. Косые возмущения вызывают радиальную компоненту силы Кориолиса, причем в первом порядке по дифференциальности вращения она не зависит от знака $k_\varphi$; поэтому в дисперсионное уравнение должна входить величина $k^2_\varphi$. Вычисления дают

$$\hat\omega^2_g = \varkappa^2 + \biggl(k^2 c^2_s - 2\,\pi\... ...^2 {r \o \varkappa^2}{d\Omega^2 \o dr}\biggr), %\eqno(2.3.9)$$ (2.103)

где $s = k_\varphi/k$, $k^2 = k^2_r + k^2_\varphi$. Инкpемент неустойчивости pастет с , однако, стpого говоpя, по условиям вывода уpавнение (2.103) непpименимо для возмущений с $s^2=1$. В пpиложении к pеальным галактикам фоpмальная подстановка $s^2=1$ пpиводит к неопpеделенности $\lee$ 25-30 %. Если принять для оценок $s \rightarrow 1$, то с учетом (2.103) условие устойчивости примет вид

$$Q_g = {c_s \o c_0} = \sqrt{2+n \o 2-n}. %\eqno(2.3.10)$$ (2.104)

Для плоской кривой вращения ($\!n = 1\!$) имеем $Q_g = \sqrt 3$ (аналогичный результат получен в работе [174]). Оба условия (2.102) и (2.104) при $n \rightarrow 2$ дают бесконечно большие значения параметра $Q$, что связано с неустойчивостью круговых орбит для закона с $n \ge 2$. Эта неустойчивость обусловлена видом внешнего потенциала, не связана с самогравитацией и не может быть подавлена температурой. Следует сказать, что для систем с $n \,\gee\, 1$ из-за нарушения условий, положенных в основу получения данных критериев, погрешность этих формул может быть существенной ^2.12.

Имеется еще один дестабилизирующий фактор, связанный с дифференциальностью вращения, однако рассмотрение его более естественно провести в следующем пункте.

2.3.7 Неоднородный диск

Под неоднородностью диска мы будем понимать зависимость поверхностной плотности и/или дисперсии скоростей (скорости звука для газового диска) от радиальной координаты. В однородной системе имеются две джинсовские ветви колебаний (см. рис. 2.1). Неоднородность диска (или дифференциальность вращения) приводит к появлению еще одной ветви колебаний, ее называют градиентной. Волновой вектор $\vec k$ для этого типа колебаний должен быть направлен под углом к градиенту равновесной величины. Как правило, чем более косые возмущения, тем больше частота колебаний. Градиентные волны обусловлены дополнительной ``упругостью'' неоднородной среды. Известно множество примеров проявления таких колебаний в самых разных областях физики.

Поверхностные гравитационные волны на поверхности раздела двух сред (ПГВ) -- наиболее известный тип волн, связанный с неоднородностью системы, которая вызвана вертикальной силой тяжести $g$. Для несжимаемых жидкостей с плотностью $\rho_{01}$ и $\rho_{02}$ закон дисперсии имеет вид $\omega^2_{ПГВ} = k_\perp g\, (\rho_{02} - \rho_{01})/(\rho_{02} + \rho_{01})$.

Внутренние гравитационные волны (ВГВ) могут распространяться в океане или атмосфере Земли из-за неоднородности в вертикальном направлении объемной плотности вещества $\rho_0(z)$. Для них

$$\omega^2_{ВГВ} = - g{\Oo{d\ln(\rho_0) \o dz} {k^2_\perp \o k^2_\perp + k^2_z}} \,.$$

ПГВ и ВГВ являются поперечными (или сдвиговыми). Сдвиговая упругость среды возникает из-за неоднородности архимедовой силы в вертикальном направлении, и такие волны не могут распространяться вдоль $z$-координаты.

Гравитационно-гироскопические волны (ГГВ) являются примером крупномасштабных возмущений в океане постоянной глубины $h$ с учетом вращения планеты с угловой скоростью $\vec\Omega$. Дисперсионное уравнение для них имеет вид $\omega^2_{ГГВ} = k^2_\perp c^2 + 4\Omega^2_z$, здесь . Из условия равновесия $g = - dp/\rho dz$.

Figure: К вопросу о волнах Россби

=0.5

Волны Россби связаны с изменением $\Omega_z = \Omega\,\sin\Theta$ вдоль географической широты (рис. 2.5): $\omega_R = - {\Oo{2\,k_x\Omega_y \o R\,(k^2_\perp + 1/r^2_R)}}$, где $r_R = c/2\Omega_z$, $\Omega_y = d\Omega_z/ d\Theta$. Возвращающей силой является сила Кориолиса.

Все эти примеры хорошо известны и легко наблюдаются в природе. Огромное количество волн градиентного типа получено при изучении физики плазмы (их часто называют желобковыми, диффузионными). Таким образом, наличие в неоднородных астрофизических дисках градиентных ветвей колебаний представляется естественным.

Рассмотрение механизма дестабилизирующего влияния неоднородности для звездного и газового дисков дает качественно похожие картины. На основе вышеперечисленных примеров видно, что частота коротковолновых градиентных колебаний приближенно равна $c/L$ ($c$ -- характерная скорость хаотических движений, $L$ -- характерный масштаб неоднородности), то есть они являются низкочастотными, $\vert \hat\omega \vert \ll \varkappa$. Если в какой-то области длин волн две ветви колебаний имеют близкие друг другу вещественные частоты, то возможно возникновение между ними ``слабой связи'' с появлением Im $(\omega)\! >\! 0$, то есть неустойчивости (см., например, [97]). В случае гравитационно устойчивого диска с $Q\! \gg\! 1$ джинсовские и градиентная ветвь отделены друг от друга (рис. 2.6$\!$а). При уменьшении параметра $Q$ частота гравитационных ветвей уменьшается, и при некоторых $Q$ в случае $\!d\sigma /dr\! <\! 0$ отрицательная джинсовская ветвь начинает взаимодействовать с градиентной, в результате вместо двух действительных частот появляется два комплексно-сопряженных (рис. 2.6$\!$б). Решение с Im соответствует гравитационно-градиентной неустойчивости. Градиентная ветвь может при определенных условиях взаимодействовать и/или с положительной джинсовской (рис. 2.6$\!$в). Градиентные колебания могут быть обусловлены не только неоднородностью, но и дифференциальным вращением. Это ярко видно на приведенном выше примере волн Россби для газа.

Figure: Дисперсионные кривые для неосесимметричных возмущений ($s =~0,\!5$) в звездном диске. Тонкими линиями показаны вещественные частоты джинсовских колебаний, жирными -- градиентные, пунктирными -- мнимые части частот

=0.45

Для газового диска при типичных условиях дестабилизация системы за счет эффектов взаимодействия градиентной и джинсовских колебаний невелика. Условие (2.104) принимает вид

$$Q_g \ge \sqrt{2+n \o 2-n}\biggl\{1 + 0,\!6\,\biggl\vert 2\... ... \o k_0 dr}\biggr)\biggr\vert^{2/3} \biggr\}, %\eqno(2.3.11)$$ (2.105)

и при типичных значениях паpаметpов поправка не превышает 10 %.

Для звездного диска с учетом всех рассмотренных нами факторов запишем аналогичное условие

$$Q_* \ge {N \o 1 + 0,\!974\,\delta/N^2}\biggl\{1 + 1,\!07\... ...i - 1,\!086\,\eta)\biggr\vert^{2/3} \biggr\}, %\eqno(2.3.12)$$ (2.106)

где $N = 2\Omega/\varkappa = \sqrt{2/(2- n)}$, $\eta = L_\s/L_c = d\ln(c_r)/ d\ln(\s_{*0})$, $\delta =\Delta_* /\rho_T$, $\xi = d\ln(2\Omega/\varkappa )/ d\ln(\s_{*0})$. Неоднородность в звездном диске вносит эффект более существенный, чем в газовом диске.

В заключение отметим, что в газовом диске может существовать еще одна ветвь колебаний -- энтропийная. В модели с равновесной энтропией $s_0(p_0,\s_0) =$ const частота этих колебаний $\hat\omega = 0$. Если $ds_0/dr \neq 0$, то это приводит к новой энтропийной ветви колебаний. Естественно, она относится к градиентному типу и является низкочастотной. Ее взаимодействие с джинсовскими ветвями вносит дополнительное дестабилизирующее влияние.

2.3.8 Обсуждение

Гравитационная устойчивость плоских систем относительно мелкомасштабных возмущений определяется действием разнообразных факторов. Примечательно, что критерий локальной устойчивости можно записать в виде достаточно простого условия $Q \ge Q_\textrm{крит}$ [см. (2.105), (2.106)]. Значение параметра $Q_\textrm{крит}$ является ключевым для рассматриваемой проблемы. Совместное действие самогравитации, вращения и хаотического движения частиц требует $Q_\textrm{крит} = 1$. Конечная толщина диска уменьшает это значение, а зависимости равновесных величин от радиальной координаты в целом приводят к $Q_\textrm{крит} > 1$. Для примера рассмотрим солнечную окрестность звездного диска Галактики. Для оценок примем: $\s_{*0} = 60~M_\odot$/пк$^2$, $\Omega = 25$ км/с кпк, $\Omega \propto r^{-1}$, $\Delta_* =300$ пк, $L_\s = 3$ кпк, $L_c =7$ кпк и, следовательно, $N = \sqrt 2$, $\eta = 0,\!4$, $\rho_T/L_\s = 0,\!23$, $\xi = 0$, $c_{T\odot} = 22$ км/с. Подставляя значения этих параметров в (2.106), получим $Q_* \simeq 1,\!6$.

2.4 Условие гpавитационной устойчивости диска

2.4.1 Является ли условие Тоомре достаточным для устойчивости
реального звездного диска?

Из приведенных выше результатов следует, что для устойчивости звездного диска величина дисперсии радиальных скоростей звезд должна превышать некоторое критическое значение. Впервые минимально необходимую для устойчивости тонкого ($\!\Delta_* =0$) диска относительно осесимметричных возмущений величину $(c_{r})_{\min}$ (см. (2.83)) вычислил Тоомре [851]. Позднее Вандервоортом [866] эта величина была скорректирована с учетом конечной толщины диска $(c_{r})_{\min} \simeq c_{TV}$ (2.85). Данные наблюдений [156, 897] показывают, что в окрестности Солнца $c_r > c_{TV}$, поэтому следует ожидать, что условие устойчивости (2.85) является необходимым.

Однако начатые в 70-х годах численные эксперименты [129, 130, 379, 487, 488, 629, 630, 631, 634, 685, 782] показывают, что звездные диски с начальным значением $c_r \simeq c_{TV} < c_T$ за промежуток времени порядка всего лишь одного-двух оборотов диска разогреваются до состояния с $c_r \,\gee\, (1,\!5 \div 2,\!5)\, c_{T}$. Эти результаты подтверждают необходимость условия устойчивости звездного диска (2.85), но указывают на его недостаточность. Поэтому обнаруженный в численных экспериментах ``разогрев'' диска в соответствии с принципом Ле-Шателье (см. в книге [90]) естественно трактовать как результат эволюции неустойчивой системы к устойчивому состоянию. Следовательно, необходимо понять природу неустойчивости, приводящей к такому разогреву.

Для выяснения этого вопроса в первую очередь отметим, что равновесный бесстолкновительный диск анизотропен -- его ``упругость'' в азимутальном направлении, характеризуемая величиной $c_\varphi$, меньше радиальной ``упругости'': $c_\varphi = (\varkappa/2\Omega)\,c_r < c_r$, и это является дестабилизирующим фактором. Поэтому если мы, в отличие от Тоомре [851] и Вандервоорта [866], исследовавших динамику только осесимметричных возмущений, изучим поведение неосесимметричных возмущений, то следует ожидать, что для их стабилизации величина $c_\varphi$ должна будет достичь значения, близкого к $c_{TV}$. С учетом связи (2.34) это означает, что величина $(c_{r})_{\min}$ должна быть близка к $(2\Omega/\varkappa)\,c_{TV}$ [503].

Природа второго дестабилизирующего звездный диск фактора обусловлена, очевидно, гравитационно-градиентной неустойчивостью, интенсивность которой возрастает с ростом степени неосесимметричности возмущений. Эта неустойчивость, как будет показано ниже, тоже может быть подавлена при увеличении дисперсии радиальных скоростей звезд.

Таким образом, следует надеяться, что необходимое и достаточное условие устойчивости неоднородного дифференциально вращающегося звездного диска может быть получено как условие отсутствия комплексных корней у дисперсионного уравнения (2.80) для неосесимметричных возмущений. Такое условие в пределе однородного твердотельно вращающегося диска должно естественным образом переходить в условие (2.85).

Отметим также, что качественно эффект худшей стабилизации неосесимметричных возмущений был известен и раньше [146, 163, 420, 525] из исследования устойчивости моделей звездных дисков с квадратичным потенциалом. Однако в таких моделях градиенты плотности и дисперсии скоростей звезд жестко связаны между собой и с другими параметрами диска, а вращение твердотельно. Искусственность подобных моделей подчеркивается и тем фактом, что даже невращающийся диск, то есть диск, равновесие которого поддерживается только градиентом ``давления'' (плотности и дисперсии скоростей звезд), оказывается гравитационно неустойчивым относительно осесимметричных возмущений. По этой причине применимость моделей дисков с квадратичным потенциалом к реальным галактикам весьма проблематична. В то же время упомянутые в начале пункта численные эксперименты, да и сам факт существования плоских галактик, говорят о том, что вращающийся звездный диск может быть устойчивым, и для этого в нем везде (кроме центральной части диска) должно быть $c_r \simeq 1,\!5 \div 2,\!5\,c_T$. Модель звездного диска (2.86)-(2.88) хорошо согласуется с данными наблюдений и поэтому попытаемся получить условие его устойчивости из соответствующего этой модели дисперсионного уравнения (2.80).

2.4.2 Критерий устойчивости неосесимметричных возмущений
в дифференциально вращающемся диске конечной толщины

Граница устойчивости звездного диска в соответствии с приведенными выше оценками частот градиентных возмущений должна лежать в области частот $\vert\hat\omega\vert^2 \ll \varkappa^2$. Поэтому естественно использовать упрощенное дисперсионное уравнение (2.81). Рассмотpим сначала модель одноpодного ( $\Vert\s_{*0}/\Vert r = 0$, $\Vert c_r/\Vert r = 0$) диска, вращающегося с угловой скоростью, степенным образом зависящей от радиальной координаты: $\Omega \propto r^{-n}$, $n=$ const $> 0$. В этом случае $\xi = 0$, $\omega_* = 0$. Тем самым из рассмотрения исключаются градиентная ветвь и связанные с ней эффекты. Уравнение (2.81) в такой модели приобретает вид

$${\hat\omega^2 \o \varkappa^2} = {1 - \sqrt{z}\, k_T \rho\,... ...\,(1 + \sqrt{z}\,\Delta_*/\rho) - a(\tilde z) - b(\tilde z)},$$ (2.107)

где $z = k^2\rho^2$; $\tilde z = \tilde k^2\rho^2 = z\,(1 + h)$; $\Oo h = \Bigg(\frac{4\Omega^2}{\varkappa^2} - 1\Bigg)\cdot\sin^2\Theta = \frac{n\,\sin^2\Theta}{2-n}$; $\rho = c_r/\varkappa$.

Граница устойчивости возмущений с заданным $\sin\Theta = m/k r$ определяется из (2.107) соотношениями $\hat\omega^2 = 0$; $d\hat\omega^2/ dk = 0$ [ $\hat\omega^2 = 0$ в минимуме дисперсионной кривой $\hat\omega^2 = \hat\omega^2(k)$], что эквивалентно системе уравнений:

$$1 - \sqrt z k_T \rho\, (1 + \sqrt z \Delta_*/\rho) - a(\tilde z) = 0, %\eqno(2.4.2)$$ (2.108)

$$2\sqrt{z}\, [ b(\tilde z) - a(\tilde z) ](1 + h) + k_T \rho\, (1 + 2\sqrt z \Delta_*/ \rho) = 0. %\eqno(2.4.3)$$ (2.109)

Решим сначала эту систему уравнений в модели тонкого ( $\!\Delta_* =\!\!~0$) диска. Нетрудно видеть, что для устойчивости возмущений с заданным $\sin\Theta =~m/k\,r$ необходимо выполнение условия [ср. с (2.83)]

$$c_r \ge c_{r\,\min_1} = c_T\,(1 + h)^{1/2},%\eqno(2.4.4)$$ (2.110)

и в случае $c_r = c_{r_{\min}}$ длина волны маргинально устойчивых возмущений определяется соотношением [ср. (2.84)]

$$k = k_1 = 0,974\,\left({\varkappa \o c_{r\,\min_1}}\right)(1 + h)^{-1/2} = k_0 (1 + h)^{-1}. %\eqno(2.4.5)$$ (2.111)

Как и ожидалось, неосесимметричные возмущения в дифференциально вращающемся диске оказываются менее устойчивыми, чем осесимметричные. Помимо этого из (2.111) следует, что граница маргинальной устойчивости сдвигается в длинноволновую область с ростом степени неосесимметричности возмущений.

Перейдем теперь к диску конечной толщины. Согласно данным наблюдений (см. п. 1.1.4), (2.40), (2.83), отношение $(\Delta_*/\rho) \sim (c_z/c_r)^2 \ll 1$. Поэтому найдем поправку к (2.110), (2.111), связанную с конечностью отношения $\Delta_*/\rho$ в первом порядке по этой величине. В результате из (2.108), (2.109) получаем [ср. с (2.85)]

$$c_r \ge c_{r_{\min}} = c_T (1 + h)^{1/2}\left[1 - {0,\!974\,\Delta_*/\rho \o (1 + h)^{1/2}}\right] \simeq$$

$$\simeq c_T (1 + h)^{1/2}\left[1 + 0,\!974\,\Delta_*\varkappa/c_T(1 + h)\right] ^{-1}, %\eqno(2.4.6)$$ (2.112)

и при $c_r = c_{r_{\min}}$ согласно (2.112) длина волны маргинально устойчивых возмущений характеризуется значением

$$k \simeq {k_0 \o (1 + h)}\,\left[1 + 0,\!2\,\Delta_* \varkappa/c_T (1 + h) \right]. %\eqno(2.4.7)$$ (2.113)

Видно, что неосесимметричные возмущения, как и осесимметричные, стабилизируются конечной толщиной диска, хотя степень этой стабилизации меньше, чем в случае осесимметричных возмущений.

2.4.3 Влияние неоднородности диска на его устойчивость

Определим теперь влияние неоднородности поверхностной плотности на величину минимально необходимой дисперсии радиальных скоростей звезд для устойчивости неосесимметричных возмущений с заданным $m/kr$ и на длину волны маргинально устойчивых возмущений (учет $\eta \neq~0$ см. в п. 2.4.5). В качестве начального приближения используем модель тонкого дифференциально вращающегося диска -- см. (2.110), (2.111), считая, что влияние его малой толщины уже определено мультипликативными формфакторами в (2.112), (2.113). В этом случае в окрестности минимума дисперсионной кривой гравитационных возмущений ($k \simeq k_0$) существенно влияние градиентной ветви (см. п. 2.2.4). Поэтому условие устойчивости такого диска должно вытекать из условия отсутствия комплексных корней у кубического по $\hat\omega$ дисперсионного уравнения (2.81). Запишем это уравнение в виде $\hat\omega^3 + s(k)\,\hat\omega^2 + p(k)\,\hat\omega + q(k) = 0$ и линейным преобразованием $y = \hat\omega + s(k)/3$ приведем к виду $y^3 + \hat p(k)\,y + \hat q(k) = 0$. Тогда диск будет устойчив относительно таких возмущений, для которых $D(k) = (\hat p/3)^3 + (\hat q/2)^2 \le 0$. При $c_r \simeq c_T$ как в длинноволновой ($k \ll k_T$), так и в коротковолновой ($k \gg k_T$) частях спектра заведомо $D(k) < 0$ [см. (2.87)-(2.90)]. В промежуточной же области может быть и $D(k) > 0$. Таким образом, $D(k)$, будучи выпуклой кверху функцией, будет достигать своего максимального значения где-то в окрестности $k\,\rho \sim 1$. Отсюда ясно, что у (2.81) исчезнут комплексные корни при любых $k\,\rho$, как только будет выполняться условие $D(k) = 0$ для тех возмущений, для которых $dD(k)/dk = 0$. Из системы этих двух уравнений могут быть вычислены $(c_r)_{\min}$ для заданного типа возмущений и длина волны маргинально устойчивых возмущений.

Вычисления проводим в главном порядке по малому параметру

$$\nu = {2\,\Omega \o \varkappa\,k_T}\,\sin\Theta\,{\Vert\ln(\s_{*0}) \o \Vert r}. %\eqno(2.4.8)$$ (2.114)

Тогда из уравнений $D(k) = 0$; $dD(k)/dk = 0$ получаем критерий устойчивости

$$c_r \ge c_{r_{\min}} \simeq c_T(1 + h)^{1/2}(1 + 1,\!07\,\nu^{2/3}) %\eqno(2.4.9)$$ (2.115)

и величину $k$ для маргинально устойчивых возмущений

$$k = k_0 (1 - 0,\!72\,\nu^{2/3})/(1 + h) \,. %\eqno(2.4.10)$$ (2.116)

По этим результатам из (2.81) нетрудно вычислить и частоту маргинально устойчивых возмущений

$$\hat\omega \simeq 0,\!673\,\varkappa\,\nu^{1/3} + O(\nu) .$$ (2.117)

2.4.4 Об условиях применимости критерия устойчивости

Обсудим условия применимости критерия устойчивости бесстолкновительных звездных дисков, вытекающего из дисперсионного уравнения (2.80).

Величина минимально необходимой для устойчивости дисперсии радиальных скоростей звезд возрастает с увеличением $\vert\sin\Theta\vert$ [( $\sin\Theta =~m/kr$, см. (2.115)]. Можно вычислить максимальное ее значение, равное $c_{r_{\min}}(\sin\Theta=1) = c_*$, и полагать, что устойчивость диска относительно произвольных возмущений имеет место при $c_r \ge c_*$. Но в этом случае необходимо учитывать влияние двух факторов. Во-первых, дисперсионное уравнение (2.80) получено в рамках ВКБ-приближения. Даже если дойти до границы применимости ВКБ-приближения (см. сноску в п. 2.2.2), то $(\sin\Theta)_{\max} \le m/ \sqrt{ m^2 + (r/L_\s)^2 } < 1$. Граница устойчивости диска лежит в области $k \sim 1/\rho$, поэтому для $(m/r) \gg k_r$ величина $(m/r) \,\lee\, k \sim 1/\rho$ и тем самым $(\sin\Theta)_{\max} \,\lee\, 1 / \sqrt{1 + (\rho/L_\s )^2 } < 1$ (в окрестности Солнца $\rho/L_\s \sim 1/3$). Во-вторых, существует более серьезное ограничение, обусловленное дифференциальностью вращения диска. Действительно, величина $\hat\omega = \omega - m\,\Omega(r)$ изменяется вдоль радиальной координаты. И необходимо, естественно, считать, что изменение $\vert\hat\omega \vert$ на масштабе, характеризующем изменение возмущения вдоль радиальной координаты, должно быть мало по сравнению с $\vert\hat\omega \vert$:

$$\biggl\vert {d\hat\omega \o k_r dr} \biggr\vert \ll \vert\hat\omega\vert . %\eqno(2.4.12)$$ (2.118)

Будем рассматривать маргинально устойчивые возмущения, используя для оценок (2.117). Предполагаем закон вращения $\Omega \sim r^{-n}$, тогда условие (2.118) примет вид

$${n\,m\,\Omega \o k_r r} \ll 0,\!673\,\varkappa\,\biggl\ve... ...\o k\,r}\, {1 \o k_T L_\s}\biggr\vert^{1/3} . %\eqno(2.4.13)$$ (2.119)

Переформулируем (2.119) как условие на величину $n$, определяющую степень дифференциальности вращения диска:

$$n \ll n_{\max} = 1,\!35\,\biggl({\pi\,G\,\s_{*0} \o 2\,\Om... ...- \sin^2\Theta)^{1/2} \o (\sin\Theta)^{2/3}}. %\eqno(2.4.14)$$ (2.120)

Из (2.120) следует, что для возмущений с $\sin(\Theta) = 1 - \varepsilon$ при $\varepsilon \ll 1$

$$n_{\max} \simeq 1,\!9\,\biggl({\pi\,G\,\s_{*0} \o 2\,\Omeg... ... L_\s}\biggr) ^{1/3}\varepsilon^{1/2} \sim \varepsilon^{1/2}.$$ (2.121)

Предположим теперь, что используем критерий устойчивости диска в пределе $\sin(\Theta) = 1$. Оценим относительное изменение величины ${c_r}_{\min}$ при замене $s=\sin(\Theta) = 1$ на $s = 1 - \varepsilon$. Поскольку (2.117) и вытекающее из него (2.120) получены в главном порядке по параметру $\nu$, то для оценки упомянутой величины необходимо пользоваться критерием, не учитывающим неоднородности диска (2.110). Тогда для относительного изменения $c_{r_{\min}}$ имеем

$$\Pi_{th} = {c_{r_{\min}}(s = 1) - c_{r_{\min}}(s = 1 - \v... ...{ 1 - \frac{n}{2}\,(1 - s^2) } } \simeq {n\,\varepsilon \o 4}$$ (2.122)

и согласованное с (2.121) $\Pi_{th} \sim \varepsilon^{3/2}$ или $n_{\max} \sim (\Pi_{th})^{1/3}\!$. Как видим, при малой $\Pi_{th}$ величина $n_{\max}$ может оказаться достаточно большой.

С другой стороны, величина дисперсии радиальных скоростей звезд определяется из наблюдений тоже с некоторой погрешностью

$$\Pi = \left({c_{r_{\max}} - c_{r_{\min}} \o c_{r_{\max}} +... ...r_{\min}}} \right)_\textrm{\small набл} \ll 1. %\eqno(2.4.17)$$ (2.123)

И, по-видимому, разумно требовать от теории, чтобы погрешность вычисляемых в ней величин не превышала значение погрешности их определения из наблюдений. Потребуем поэтому, чтобы определяемая (2.122) величина

$$\Pi_{th} = \Pi \,. %\eqno(2.4.18)$$ (2.124)

Выражая из этого соотношения $\sin(\Theta)$ как функцию $\Pi$ и подставляя в (2.120), получим уравнение для величины $n_{\max}$:

$$n_{\max} = 1,\!54\,\left({\pi\,G\,\s_{*0} \o 2\,\Omega^2 ... ...\right\}^2\right]/n_ {\max}\right\}^{2/9}} \,. %\eqno(2.4.19)$$ (2.125)

Для примера приведем решения (2.125) для значений параметров $\s_{*0} = 80$ М$_\odot$/пк$^2$, $\Omega = 25$ км/с/кпк, $L_\s =4$ кпк:

$$n_{\max}(\Pi=0,\!05) \simeq 0,\!73; \ \ n_{\max}(\Pi=0,\!1) \simeq 1; \ \ n_{\max}(\Pi=0,\!15) \simeq 1,\!2.$$

Эти решения достаточно типичны, поскольку для дисков, вращающихся с $V_{вр} \simeq$ const ($n \simeq~1$), величина $\pi\,G\,\s_{*0}/ (2\,\Omega^2 L_\s) \simeq~c_T/(\varkappa L_\s)~=~\rho_T/L_\s$ изменяется, по-видимому, в не слишком широких пределах: $\rho_T/L_\s\simeq 0,\!15 \div 0,5$ (в солнечной окрестности $\rho_T/L_\s\sim 0,\!2$), а зависимость $n_{\max}$ от $\rho_T/L_\s$ довольно слабая. В то же время погрешность, характеризуемая разбросом данных наблюдений, по величине $c_r$ только в окрестности Солнца меньше $10~\%$, а для других галактик может превышать $20\div 25~\%$ (см., например, [65, 316, 317, 318], § 3.4). Поэтому для большинства звездных дисков плоских галактик $(n\,\lee\,1)$ критерий устойчивости неосесимметричных возмущений в пределе $\sin\Theta = 1$ на основе уравнения (2.80) может быть использован для оценки необходимой для устойчивости звездного диска дисперсии радиальных скоростей его звезд.

2.4.5 Критерий устойчивости звездного диска

Получим теперь общее условие устойчивости звездного диска с учетом градиента дисперсии скоростей звезд ( $\!\eta \neq 0\!$) и возможного отклонения дифференциального вращения диска от степенного закона ($\xi \neq 0$). Вычисления в этом случае аналогичны приведенным в п. 2.4.3. Учитывая также влияние конечной толщины диска, описываемое соотношением (2.112), приходим к следующему результату:

$$c_r \,\gee\, \frac{ c_T (1 + h)^{1/2}}{1 + 0,\!974\,{\Oo{... ...i - 1,\!086\,\eta \right\vert^{2/3}\Bigg\}\,. %\eqno(2.4.20)$$ (2.126)

Если теперь в соответствии со сказанным выше положить в (2.126) $\sin(\Theta) = 1$, то для определения верхней границы, необходимой для устойчивости звездного диска дисперсии радиальных скоростей звезд, получаем следующую оценку [128]:

$${\rm sup}\left\{ c_{r_{min}}\right\} \simeq c_* = c_T \lef... ..._T}\left({\varkappa \o 2\,\Omega}\right)^2\right]^{-1}\times$$

$$\times\left\{1 + 1,\!07\left\vert{2\,\Omega \o \varkappa\... ...i - 1,\!086\,\eta)\right\vert^{2/3} \right\}. %\eqno(2.4.21)$$ (2.127)

Этот результат, как и результаты Тоомре (2.83) и Вандервоорта (2.85), является локальным и применим лишь в тех областях диска, где выполняются исходные приближения -- эпициклическое и малости параметра $\varkappa / \omega_z$ (очевидно, что в центральных областях звездных дисков оценка (2.127) может не выполняться). Отметим также, что вычисление $c_*$ с необходимостью должно быть итеративным, поскольку величина $c_r$ входит и в правую часть равенства (через $\eta = d\ln c_r/ d\ln\s_{*0}$).

Результаты проверки оценки (2.127) в численных экспериментах и для некоторых построенных моделей Галактики обсуждаются в главе 3.

2.4.6 Характерные масштабы неоднородностей поверхностной
плотности и дисперсии радиальных скоростей звездных дисков

При обсуждении критерия устойчивости Тоомре-Вандервоорта (см. п. 2.3.1) уже упоминалось о численных экспериментах с моделями звездных дисков. Эти эксперименты (см. также гл. 3), в частности, показывают, что в процессе эволюции к стационарному состоянию в таких моделях происходит перераспределение равновесных поверхностной плотности $\s_{*0}$ и скорости вращения и ``разогрев'' дисков до состояния, в котором экспериментальное значение $c_r$ оказывается близким к $c_*(r)$ по (2.127). В то же время величина $c_*(r)$ зависит не только от локальных значений $\s_{*0}(r)$, $\Omega(r)$, но и от их градиентов, а также от величины градиента $c_r(r)$. Поэтому можно ожидать, что в процессе эволюции в маргинально устойчивое состояние в звездном диске распределения параметров станут такими, что величина $c_*(r)$ будет близка к минимально возможной. Проанализируем с этой точки зрения дисперсионные свойства ветвей колебаний звездного диска и условие его гравитационной устойчивости.

Как мы выяснили выше, дестабилизирующее влияние радиальной неоднородности параметров диска обусловлено двумя факторами. Во-первых, в стационарном звездном диске для дисперсии азимутальных скоростей звезд имеем $c_\varphi = [\varkappa/2\Omega]\,c_r < c_r$ [163], и, следовательно, для стабилизации предельно неосесимметричных возмущений из-за меньшей, чем радиальная, азимутальной ``упругости'' диска величина $c_r$ должна быть в $(2\Omega/\varkappa) > 1$ раз больше, чем $c_T$. Во-вторых, дисперсионное уравнение (2.80) в области частот $\vert\hat\omega\vert \le \varkappa$ описывает три ветви колебаний в плоскости диска: две гравитационные и одну градиентную. Градиентная ветвь обусловлена наличием неоднородности дисперсии радиальных скоростей звезд или неоднородности поверхностной плотности диска, либо и тем, и другим. Дополнительная дестабилизация возмущений в неоднородном диске связана с возникновением ``взаимодействия'' между градиентной и гравитационными ветвями в случае недостаточно горячего ( $c_r \simeq c_T$) звездного диска. Ниже будем полагать закон вращения степенным $\Omega \sim r^{-n}$ с $n=$ const ($\xi \equiv 0$). Дисперсионные кривые в области частот $\vert\hat\omega\vert \le \varkappa$ в диске с $c_r \simeq c_T$ изображены на рисунках 2.6, 2.7.

Figure: Ветви неосесимметричных возмущений в модели звездного диска, характеризуемого параметрами: $\eta = 1,\!1$; $\Delta_*/\rho_T = 0,\!3$; $\rho_T\sin\Theta/L_\s = 0,\!18$. а -- пpи $c_r = 1,\!2\,c_T$ имеем неустойчивый диск, на что указывает наличие Im$\hat\omega>0$; б -- при $c_r = 2,\!06\,c_T$ диск стабилизируется. Сплошной линией показана , пунктирной -- ${\rm Im}(\hat\omega/\varkappa)$

=0.52

В то же время с ростом ``температуры'' диска (увеличением параметра $c_r$) абсолютная величина частоты гравитационных возмущений в области $k \lee 2 k_T$ растет, и при некотором $c_r = c_* > c_T$ ``слабая связь'' градиентной и гравитационных ветвей исчезает. Это и приводит к стабилизации гравитационно-градиентной неустойчивости диска (см. рис. 2.7$\!$б). Как видно из рис. 2.7$\!$а, в недостаточно горячем ( $\! c_r < c_*\!$) звездном диске в пространстве волновых чисел могут существовать две области неустойчивости. Этот эффект обусловлен следующим обстоятельством. Закон дисперсии градиентной ветви колебаний диска, близкого к границе устойчивости, в области длин волн $k \lee k_T$ запишем в виде

$$\hat\omega_3 \simeq -{2\,k_\varphi\,\Omega\,(1 - \tilde z\... ...T\rho^2 + 3\, \tilde z^2/4\,k\,k_T\rho^2)} \,. %\eqno(2.4.22)$$ (2.128)

Отсюда видно, что в длинноволновом пределе ($k \ll k_T$) частота градиентной ветви отрицательна, а в области длин волн $\tilde z > 1/(1 + 2\eta)$ -- положительна. Таким образом, градиентные возмущения могут взаимодействовать как с отрицательной, так и с положительной джинсовскими ветвями колебаний звездного диска (см. рис. 2.7).

Если параметры диска таковы, что $\eta = L_\s/L_c = 0$ ($c_r =$ const), то существует лишь одна область неустойчивости в $\vec k$-пространстве. При $\eta \neq 0$ могут существовать две области неустойчивости в $\vec k$-пространстве. И в зависимости от параметра $\eta$ с ростом величины $c_r$ одна из них исчезает при меньших значениях $c_r$, а другая -- при больших. В дисках с $0 < \eta = L_\s/L_c \,\lee\, 1$ неустойчивость в области II подавляется при меньших значениях $c_r$, чем неустойчивость в области I. Если же в звездном диске $\eta \,\gee\, 1$, то при меньших значениях $c_r$ подавляется неустойчивость в области I. В дисках с $\eta = \eta_{crit} \simeq 1$ обе области неустойчивости исчезают практически при одном и том же значении величины $c_r$ (рис. 2.7$\!$б). Точное значение $\eta_{crit}$, вычисленное из полного дисперсионного уравнения (2.80), слабо зависит от параметров диска [141].

Итак, функция $c_*(L_\s/L_c)$ в случае $\vert\xi\vert \ll 1$ достигает своего минимума при $\eta = d \ln c_r/ d \ln\s_{*0} = L_\s/L_c \simeq 1$. Казалось бы, в каждой точке $r$ звездному диску ``выгодно'' иметь близкие значения $L_\s$ и $L_c$. Но этот вывод основывается на локальном анализе при фиксированном $r$, и, таким образом, одновременное выполнение двух условий -- диск маргинально устойчив и параметр $\eta =$ const $\simeq 1$ -- в общем случае не может реализоваться для достаточно протяженной области.

Выясним, к чему приводит требование, чтобы весь диск (за исключением центральных областей) обладал минимально возможной для устойчивости дисперсией радиальных скоростей звезд [111]. Ограничиваясь качественным рассмотрением, воспользуемся для анализа критерием устойчивости (2.127), записанным в форме

$$c_r \ge c_* = N\,D\,c_T\biggl\{1 + 1,\!07 \Bigl\vert 1,\!... ...} - 1,\!09\,{d\ln c_r \o dr} \right)\Bigr\vert^{2/3}\biggr\},$$ (2.129)

где $N = 2\Omega/\varkappa$, $D = (1 + 0,\!974\,\varkappa\,\Delta_*/(N^2 c_T))^{-1}$. Будем рассматривать (2.129) как дифференциальное уравнение для функции $c_*(r) = c_r(r)$, считая зависимости $\s_{*0}(r)$, $\Omega(r)$ известными. В соответствии с этим перепишем (2.129) в виде

$${dc_* \o dr} = {c_* \o 1,\!09}\left\{{d\s_{*0} \o \s_{*0} ... ...eft({c_*/ N D c_T - 1 \o 1,\!07}\right)^{3/2}. %\eqno(2.4.24)$$ (2.130)

Как нетрудно видеть из (2.129), величина $c_*$ достигает минимального значения при $\eta = \eta_{crit} = 0,\!91$, и в этом случае с необходимостью $\gamma =~0$. Для реальных плоских галактик хорошей аппроксимацией является зависимость $\s_{*0} \sim \exp(-r/ \vert L_\s\vert)$ с $L_\s =$ const. Таким образом, условие $\eta = \eta_{crit} \simeq 1$ требует $c_r \sim \exp(-r/\vert L_c\vert)$ с $L_c \simeq L_\s$. Однако в этом случае для произвольных $r$ не может выполняться условие $\gamma = 0$. А при $\gamma \neq 0$ в зависимости от знака ``$+$'' или ``$-$'' в (2.130) величина $\eta$ становится соответственно больше или меньше $\eta_{crit}$.

Численное интегрирование уравнения (2.130) приводит к следующему результату: ограниченные решения уравнения (2.130) возможны только при знаке ``$-$'', то есть $\gamma < 0$. Таким образом, хотя параметр $\eta$ может зависеть от радиальной координаты, но $\eta < \eta_ {crit} \simeq 1$.

Наблюдения. Величины $\Omega(r)$ и $L_\s$ (но не сама плотность) определяются из наблюдений достаточно уверенно. Для ряда галактик определены дисперсии радиальных скоростей в нескольких точках (для определения величины $L_c$ достаточно двух) по радиальной координате. Поэтому представляет интерес проверить для этих объектов выполнение условия $\gamma < 0$, которое эквивалентно

$$\eta < \eta_{crit} = 0,\!91 . %\eqno(2.4.25)$$ (2.131)

Для солнечной окрестности Галактики разброс значений параметров $L_\s$, $L_c$ достаточно велик: $L_c = -10$ кпк, $\eta = 0,\!22$ [676]; $L_\s = - (2,\!2 \div 4,\!5)$ кпк (§ 1.1, 3.6); $L_c = - (8,\!7 \div 10,\!5)$ кпк [384, 867]; $L_c = - (6,\!8 \div 9,\!4)$ кпк [667]. Крайние оценки дают $\eta = 0,\!21 \div 0,\!73$. Условие (2.131) выполняется и для всех 11 галактик, рассмотренных в работе [111], причем для них $0,\!2 \le \eta \le 0,\!9$.

Следует отметить, что если в звездном диске существенную роль играют какие-либо процессы, приводящие к нагреву диска, то система обладает запасом устойчивости ( $Q_* = c_r/c_* > 1$), и, таким образом, условие (2.131) может нарушаться. Чтобы установить величину $Q_*$ из наблюдений, необходимо независимое определение плотности вещества звездного диска, что является непростой задачей.

При проведении численных экспериментов по моделированию бесстолкновительного звездного диска можно определять радиальные зависимости равновесных параметров $c_r(r)$, $\s_{*0}(r)$, $\Omega(r)$, $\Delta_*(r)$ и таким образом вычислять характерные масштабы неоднородностей этих величин (гл. 3). Результаты этих работ также подтверждают, что вне центральных областей характерный масштаб неоднородности поверхностной плотности не превышает по величине характерный масштаб неоднородности дисперсии радиальных скоростей звезд ( $\!\eta\! =\! L_\s/L_c\! \lee\! 1\!$). Как мы увидели выше, этот результат можно объяснить, исходя из требования, чтобы весь диск находился на границе гравитационной устойчивости.

Интересно также отметить, что в модели Галактики Рольфса и Крейчмана [741] по результатам вычисления $c_*(r)$ величина $\eta_\odot \simeq 0,\!4$, а в модели Калдвелла и Острайкера [334] $\eta_\odot \simeq 0,\!9$.

2.5 Устойчивость диска относительно изгибных возмущений

2.5.1 Динамика изгибных возмущений

В предыдущих разделах были изучены динамика возмущений в плоскости звездного диска и вытекающие из требования устойчивости таких возмущений ограничения на параметры диска. В этом разделе мы остановимся на другом типе возмущений -- изгибающих плоскость звездного диска -- и соответственно найдем те ограничения на параметры диска и системы в целом, которые вытекают из условия устойчивости таких возмущений.

Впервые, по-видимому, динамика изгибных (мембранных) колебаний в моделях холодных тонких дисков была рассмотрена в работе Хантера и Тоомре [501]. Это исследование имело целью объяснение наблюдаемого в ряде изолированных галактик крупномасштабного искривления периферии их дисков. Еще одна проблема, для решения которой необходимо изучение динамики изгибных возмущений, связана с задачей объяснения существенного различия толщин и $z$-дисперсий скоростей объектов звездного и газового дисков в плоских галактиках.

Однако исследованные Хантером и Тоомре [501] модели холодных тонких дисков оказались устойчивыми относительно изгибных возмущений (подробное изложение теории этого вопроса см. в книге Фридмана и Поляченко [420]). В [362] было показано, что для решения упомянутых выше проблем необходимо изучать динамику изгибных возмущений в моделях дисков, горячих в их плоскости.

Очевидно, что такие локальные параметры, как $z$-дисперсия скоростей звезд и толщина диска, должны определяться из условия устойчивости возмущений, масштабы которых малы по сравнению с его толщиной. Соответствующее ВКБ-дисперсионное уравнение изгибных возмущений в простейшей модели однородного тонкого невращающегося звездного слоя можно записать в виде [605]

$$\omega^2 = k^2 c^2_{\scriptstyle\scriptstyle\scriptstyle\mid\mid} - 2\,\pi\,G\,\s_{*0} k, %\eqno(2.5.1)$$ (2.132)

где $\omega$ - частота возмущений, $k$ - их волновое число, $c^{\, }_{\scriptstyle\scriptstyle\scriptstyle\mid\mid}$ - дисперсия скоростей звезд в плоскости слоя. Неустойчивость, очевидно, имеет место для возмущений с длиной волны $\lambda < c^2_\Vert/G\s_{*0}$ ( $k > 2\,\pi\,G\,\s_{*0}/c^2_\Vert$). Используя связь (2.40) полутолщины диска $\Delta_*$ с величинами $\s_{*0}$ и $c_z$, нетрудно записать условие устойчивости в виде

$$(c_z / c_\Vert) > \sqrt{ k\,\Delta_*/2 } \,. %\eqno(2.5.2)$$ (2.133)

С другой стороны, изгибные возмущения, масштабы которых малы по сравнению с толщиной диска, также должны быть устойчивыми [362]. Это означает, что существует минимально необходимая для устойчивости диска величина отношения $c_z / c_\Vert$. Поскольку же дисперсия радиальных скоростей звезд ограничена снизу условием гравитационной устойчивости диска, то и величина $z$-дисперсии скоростей звезд и связанная с ней толщина диска не могут быть сколь угодно малыми. Определению максимального значения анизотропии $\alpha = c_\Vert / c_z$ в распределении скоростей звезд, обусловленного требованием устойчивости диска относительно изгибных возмущений, посвящен п. 2.5.2.

Динамика крупномасштабных изгибных возмущений, охватывающих весь диск, должна, очевидно, изучаться с учетом вращения и структуры диска в целом. Такое исследование для ряда моделей тонких дисков [164] показало, что наиболее крупномасштабные моды могут быть неустойчивыми, если равновесие дисков в радиальном направлении обеспечивается в основном давлением, а не вращением. С уменьшением вклада давления в условие равновесия наиболее крупномасштабные моды стабилизируются, а более коротковолновые остаются неустойчивыми. Этот результат вместе с дисперсионным уравнением (2.132) показывает, что неустойчивость изгибных возмущений диска в некотором смысле является дополнительной к гравитационной неустойчивости возмущений в плоскости диска. Действительно, гравитация дестабилизирует возмущения в плоскости диска и стабилизирует изгибные; давление оказывается стабилизирующим фактором для возмущений в плоскости диска и дестабилизирующим для изгибных. Поэтому можно было бы ожидать, что самые крупномасштабные изгибные моды будут, в отличие от возмущений в плоскости диска (см. гл .3), дестабилизироваться достаточно массивной сфероидальной подсистемой. Обсуждению этого вопроса посвящен п. 2.5.3.

2.5.2 Какой должна быть величина $z$-дисперсии скоростей звезд?

Определим, следуя Поляченко и Шухману [172], максимальную анизотропию $\alpha = c_\Vert / c_z$ скоростей в звездном диске. Поскольку вращение существенно только для возмущений, масштабы которых сравнимы с радиусом диска, исходим из простой модели бесстолкновительного невращающегося плоского слоя конечной толщины [2], описываемой функцией распределения

$$f(z,\vec v) =~{\rho_0 \o \pi\,\omega_z\,\Delta}\,{\bf F}... ... {v^2_z \o \omega^2_z\Delta^2} \right]^{-1/2}, %\eqno(2.5.3)$$ (2.134)

где $\rho_0$ - плотность, $\Delta$ - полутолщина слоя, $\omega_z = (4\pi G\rho_0)^{1/2}$, а ${\bf F}(v_x,v_y)$ может быть произвольной функцией своих аргументов.

Считаем возмущения длинноволновыми в том смысле, что характерный масштаб возмущения в плоскости слоя велик по сравнению с его полутолщиной ($k\Delta \ll 1$). Однако параметр $k\,c_\Vert/\omega_z \simeq k\,\Delta\alpha$ не предполагаем малым. Ориентируем ось $x$ вдоль направления волнового вектора. Тогда зависимость ${\bf F}(v_x,v_y)$ от $v_y$ в невращающемся слое становится несущественной и задача сводится к двумерной.

Представим функцию распределения по $v_x$ в виде суперпозиции потоков

$${\bf F}(v_x) = \int {\bf F}(v_0)\delta(v_x - v_0)\,dv_0$$ (2.135)

и рассмотрим сначала один поток со скоростью $v_0$ и плотностью $\delta\rho_0~=~\rho_0 {\bf F}(v_0)\,dv_0$. Возмущенную функцию распределения для этого потока ищем в виде

$$\tilde f = {\rho_0 \o \pi\,\omega_z\Delta}\left(1 - {z^2 ... ... \omega^2_z\Delta^2} - \chi\right)^{-1/2}\delta(v_x - v_0)~+$$

$$+ {\rho_0 \o \pi\,\omega_z\Delta}\left(1 - {z^2 \o \Delta... ...}\right)^{-1/2}{\rm B}\,\delta'(v_x - v_0)\,. %\eqno(2.5.5)$$ (2.136)

Подстановка этого выражения в линеаризованное кинетическое уравнение приводит к следующим уравнениям для функций $\chi$, B:

$${d\chi \o dt} = 2\,i\,k\,{\rm B}\, [1 - z^2/\Delta^2 - v^... ...o \omega^2_z\Delta^2}{\Vert\Phi_1 \o \Vert z}, %\eqno(2.5.6)$$ (2.137)

$${d{\rm B} \o dt} = i\,k\,\Phi_1, %\eqno(2.5.7)$$ (2.138)

где $\Phi_1\! \propto\! \exp\{-i\omega t + ikx\}$ -- возмущенный гравитационный потенциал и

$${d \o dt} = {\Vert \o \Vert t} + v_0\,{\Vert \o \Vert x} +... ...t z} - \omega^2_z\, z\,{\Vert \o \Vert v_z}\,. %\eqno(2.5.8)$$ (2.139)

Оценивая соотношение величин B и $\Phi_1$ из (2.138), нетрудно видеть, что первый в правой части (2.137) член в пределе $k\Delta \ll 1$ мал по сравнению со вторым (их отношение порядка $k^2\Delta^2 \ll 1$) и, следовательно, может быть опущен. Легко также проверить, что в этом пределе для изгибных возмущений локальная плотность не возмущается ( $\!\rho_1 = 0\!$) и поэтому следует положить $\Phi_1 = \beta z$. Тогда из (2.137) получаем

$$\chi = {2\,\beta\,z \o \Delta^2(\omega^2_z - \hat\omega^2)},$$ (2.140)

где $\hat\omega = \omega - k v_0$. В (2.140) опущено слагаемое, пропорциональное $v_z$, как не дающее вклада ни в смещение границы слоя, ни в его объемную плотность.

Смещение границы слоя $\xi$ определяем из условия

$$\left(1 - {z^2 \o \Delta^2} - {v^2_z \o \omega^2_z\Delta^2} -\chi\right)_ {\Big\vert z = \Delta,\, v_z = 0} = 0 \,.$$

Отсюда следует

$$\xi_{\Big\vert z=\Delta} = -{1 \o 2}\,\chi\,\Delta = -{\beta \o \omega^2_z - \hat\omega^2}. %\eqno(2.5.10)$$ (2.141)

Вычислим теперь соответствующее (2.141) возмущение гравитационного потенциала. Для этого сошьем решения уравнения

$${d^2\Phi_1 \o dz^2} - k^2\Phi_1 = 0$$

при $z = \Delta$ в соответствии с граничными условиями

$${\Phi_1}_{\Big\vert z=\Delta + 0} - {\Phi_1}_{\Big\vert z=\Delta - 0} = 0, %\eqno(2.5.11)$$ (2.142)

$${\Vert\Phi_1 \o \Vert z}_{\Big\vert z=\Delta + 0} - {\Vert... ...ta - 0} = \omega^2_z\xi_{\Big\vert z=\Delta}. %\eqno(2.5.12)$$ (2.143)

Отсюда с точностью до членов порядка $k\Delta \ll 1$ включительно получаем дисперсионное уравнение для рассматриваемого потока

$$1 + k\,\Delta = {\omega^2_z \o \omega^2_z - \hat\omega^2}.$$ (2.144)

Суммируя это выражение по всем потокам, приходим к искомому дисперсионному уравнению:

$$1 + k\,\Delta + \omega^2_z \int{{\bf F}(v_x) dv_x \o (\omega - kv_x)^2 - \omega^2_z} = 0. %\eqno(2.5.14)$$ (2.145)

Для конкретных вычислений исходим из шварцшильдовской функции распределения ${\bf F}(v_x) = (2\pi c^2_x)^{-1/2}\exp\{-v^2_x/ 2c^2_x\}$. В этом случае дисперсионное уравнение (2.145) приводится к виду

$${i\sqrt\pi\omega_z \o kc_x}\left\{{\bf W}\left({\omega - \... ... \sqrt{2}\, kc_x}\right)\right\} = 2\sqrt{2}\, (1 + k\Delta),$$ (2.146)

где ${\bf W}(x)$ -- функция Крампа [194]. Дисперсию скоростей в $z$-направлении определим следующим образом. Давление по $z$ равно $p=\rho_0\,\langle v^2_z\rangle= \rho_0\,\omega^2_z\,\Delta^2\,(1-z^2/\Delta^2)/2$, так что температура $T_z=\omega^2_z\Delta^2\,(1 - z^2/\Delta^2)/2$. Усредняя эту величину по толщине слоя, получим $c_z =\sqrt{ \langle T_z\rangle }= \omega_z\Delta/\sqrt 3$. Поэтому для анизотропии в распределении звезд по скоростям имеем

$$\alpha = {c_\Vert \o c_z} = {c_\Vert\sqrt 3 \o \omega_z\Delta}\,.$$ (2.147)

При $\min(\vert\omega - \omega_z\vert,\vert\omega + \omega_z\vert) \gg kc_\Vert$ из (2.146) можно получить упрощенное дисперсионное уравнение (2.132). Из него следует, что шланговая^2.13 (анизотропная) неустойчивость изгибных возмущений слоя имеет место при $k\Delta > 3/\alpha^2$. В то же время возмущения, характерный масштаб которых мал по сравнению с толщиной слоя, должны быть устойчивы, и, следовательно, область неустойчивости должна быть ограничена со стороны ``больших'' $k\Delta$. Для точного определения границ этой области положим в (2.146) $\omega = 0$. Получающееся уравнение может быть приведено к виду

$$1 + k\,\Delta = 2\,A\,F_D(A), %\eqno(2.5.17)$$ (2.148)

где $A = \sqrt{3/2}/k\Delta\alpha$; $\Oo F_D(A) = \int^A_0 \exp (t^2 - A^2) dt$ -- интеграл Досона. Нетрудно видеть, что при $\alpha \gg 1$ уравнение (2.148) имеет два решения, $k_1\Delta \simeq 3/\alpha^2$ и $k_2\Delta \simeq 1,\!4/\alpha$. Таким образом, область неустойчивых длин волн в пределе $\alpha \gg 1$ ограничена полосой $k_1 \,\lee\, k \,\lee\, k_2$. С уменьшением параметра $\alpha$ эта область сужается и, как показывает численное решение (2.148), исчезает при $\alpha < \alpha_{crit} \simeq 2,\!70$ (рис. 2.8). В приложении к галактикам следует, очевидно, считать $\alpha = c_\Vert/c_z \equiv c_r/c_z$, поскольку . Это означает, что звездные диски плоских галактик должны быть устойчивы при

$$c_z \,\gee\, c_{z_{crit}} \simeq 0,\!37\,c_r. %\eqno(2.5.18)$$ (2.149)

Figure: Область шланговой неустойчивости (заштрихована) на плоскости параметров $\alpha = c_\Vert / c_z$ и $k\Delta$

=0.5

Данные наблюдений в околосолнечной окрестности Галактики не противоречат оценке (2.149) -- согласно [73, 190, 897] в среднем по не слишком молодым звездам $c_z/c_r \simeq 0,\!5$. Таким образом, в солнечной окрестности Галактики звездный диск устойчив (согласно (2.149) -- с запасом) относительно изгибных возмущений промежуточных масштабов $1/R \ll k \ll 1/\Delta$ ($R$ - радиус диска Галактики). То же самое можно, по-видимому, утверждать и в отношении звездных дисков других плоских галактик [317, 316, 559]. Обсуждение результатов численных экспериментов можно найти в § 3.9. Результаты вычисления $(c_z/c_r)_{crit}\simeq 0,\!29$ с учетом вертикальной неоднородности диска получены S. Araki и обсуждаются в [621].

2.5.3 Динамика крупномасштабных изгибных возмущений диска,
погруженного в массивное гало

Для изучения динамики захватывающих весь диск плоской галактики крупномасштабных изгибных мод необходимо, очевидно, учитывать структуру диска и окружающей его сферической подсистемы в целом. Аналитическое решение такой задачи возможно только на достаточно простых моделях, и в этом разделе мы опишем первые результаты такого типа исследований [173].

Представим модель галактики в виде двухосного твердотельно вращающегося звездного эллипсоида однородной плотности с полуосями $a$, $c$ $(a > c)$, погруженного в протяженное однородное сферическое гало. Равновесный гравитационный потенциал внутри эллипсоида (модели диска)

$$\Phi_0 = {\Omega^2 \o 2}(x^2 + y^2) + {\omega^2_0 \o 2} z^2,$$ (2.150)

где $\Omega^2 = GM_h/a^3 + \Omega^2_d$; $\omega^2_0 = \omega^2_h + \omega^2_d$; $M_h$ -- масса гало в области $r < a$, а величины $\omega_h$, $\Omega_d$, $\omega_d$ зависят от плотности, отношения полуосей эллипсоида и отношения масс подсистем (явные выражения для них можно найти в монографии Фридмана и Поляченко [420]). Ограничимся изучением динамики трех наиболее крупномасштабных мод:

а) $m=0$ (``купол'')

$$\Phi_1 = z\,\left[A\,z^2 + B(x^2 + y^2) + D\right]; %\eqno(2.5.20)$$ (2.151)

б) $m=1$ (``сомбреро'')

$$\Phi_1 = z\,(x + iy)\,\left[A\,z^2 + B(x^2 + y^2)\right]; %\eqno(2.5.21)$$ (2.152)

в) $m=2$ (``седло'')

$$\Phi_1 = A\,z\,(x + iy)^2, %\eqno(2.5.22)$$ (2.153)

где $\Phi_1$ -- возмущение гравитационного потенциала, а коэффициенты $A$, $B$, $D$ зависят только от времени (названия ``купол'', ``сомбреро'' и ``седло'' обусловлены формой возмущения плоскости симметрии эллипсоида).

Эти моды интересны прежде всего как наиболее крупномасштабные и потому, как правило, самые опасные с точки зрения потери устойчивости. Кроме того, следует ожидать, что поведение подобных мод, захватывающих целиком всю систему, определяется небольшим числом ее ``глобальных'' параметров. Это означает, что исследование устойчивости рассматриваемой модели относительно возбуждения перечисленных выше мод не потребует конкретизации функции распределения -- достаточно лишь будет знать несколько главных ее моментов. Для рассматриваемой модели однородного эллипсоида выражения для линейных и квадратичных по скоростям моментов определяются однозначно, если только предположить изотропию в распределении скоростей в плоскости вращения. Упомянутые моменты имеют вид

$$\langle v_r\rangle = \langle v_z\rangle = 0\,, \ \ \ \langl... ...= {\omega^2_0 c^2 \o 2}(1 - r^2/a^2 - z^2/c^2)\,, %(2.5.23)$$

$$\langle v^2_r\rangle = \langle (v_\varphi - \langle v_\va... ... {a^2\Omega^2 \o 2}(1 - \gamma^2) (1 - r^2/a^2 - z^2/c^2)\,.$$ (2.154)

Из этих выражений ясно, что исследуемая нами модель описывается тремя ``глобальными'' параметрами: отношением полуосей эллипсоида $c/a$; отношением масс гало и диска (эллипсоида) $\mu = M_h/M_d$ и параметром $\gamma$, равным отношению угловой скорости вращения горячего эллипсоида к угловой скорости вращения холодного эллипсоида [таким образом, величина $\gamma^2$ определяет вклад вращения в радиальное равновесие эллипсоида, а ($1 - \gamma^2$) -- вклад ``давления'' ( )].

Метод исследования устойчивости стандартен [2, 163, 420]. Сначала из уравнений для лагранжевых смещений $x,y,z$ эти величины выражаются через возмущенный потенциал $\Phi_1$. Затем вычисляются возмущения плотности и нормальное смещение границы эллипсоида. Решая затем уравнение Пуассона и сравнивая получившийся потенциал с исходным (2.151)-(2.153), приходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов, входящих в выражение для возмущенного потенциала. Приравнивая, наконец, нулю определитель такой системы, получаем искомое дисперсионное уравнение.

Figure: =10000 Области неустойчивости изгибных мод (2.151) $\div$ (2.153) для однородных эллипсоидов, погруженных в однородное гало: а -- $M_h=0$; б -- $M_h=M_d$; в -- $M_h=3M_d$. Для изгибных мод области неустойчивости -- под соответствующими кривыми; для бар-моды (рис. а, б) -- над соответствующими кривыми

=0.44

Дисперсионные уравнения для указанных выше мод (2.151) $\div$ (2.153) решались численно (они довольно громоздки и здесь не приводятся). Результаты их решения приведены на рис. 2.9$\!$а-в, соответствующих различным значениям параметра $\mu = M_h/M_d$. Из этих рисунков видно, что в дисковом пределе ( $\!c/a \rightarrow 0\!$) каждая из мод неустойчива при достаточно большой дисперсии скоростей звезд (области под кривыми). С увеличением ``толщины'' эллипсоида область неустойчивости по параметру $\gamma^2$ сначала растет (т.е. неустойчивыми становятся все более ``холодные'' системы), а затем довольно быстро исчезает.

Заметим, что резкий спад кривых -- границ областей неустойчивости на рис. 2.9 происходит при такой сплюснутости эллипсоида $c/a$, для которой в используемой однородной модели имеются резонансы между частотами колебаний звезд поперек плоскости эллипсоида и в плоскости его вращения. Для мод $m=0$ и $m=2$ есть резонанс $\omega_0 = 2\Omega$, а для моды $m=1$ -- резонанс $\omega_0 = 3\Omega$. Столь сильное влияние этих резонансов связано, очевидно, с идеализацией модели. Для реальных дифференциально вращающихся систем эти кривые будут иметь более гладкий вид.

Как видно из рис. 2.9, мода $m=2$ (``седло'') сравнительно мало подвержена влиянию резонанса. Существенно, однако, что именно эта мода обладает самой большой областью неустойчивости по $\gamma^2$ при $M_h \,\gee\, M_d$. Важно также отметить, что с увеличением массы гало область неустойчивости по параметру сплюснутости эллипсоида $c/a$ сужается (неустойчивыми остаются только сильно сплюснутые системы). Однако для моды $m=2$ даже при очень больших значениях массы гало ( $M_h \simeq 13 M_d$) эллипсоид неустойчив вплоть до $c/a \simeq 1/15$, то есть значений, характерных для плоских подсистем спиральных галактик. Тем самым можно говорить о выделенности седлообразной моды среди других мод изгибного типа. Заметим, что аналогичное положение имеет место и для возмущений, не изгибающих плоскость диска -- здесь тоже оказывается выделенной бароподобная мода $m=2$.

В целом наиболее важным результатом является обнаружение зависимости положения границ областей неустойчивости от массы гало: при достаточно большой массе гало неустойчивыми могут стать системы с малой дисперсией скоростей в плоскости эллипсоида [с малым ( $\!1 - \gamma^2\!$)]. В этом и состоит дестабилизирующая роль гало.

В то же время с ростом массы гало необходимая для гравитационной устойчивости диска дисперсия скоростей звезд в его плоскости убывает: $c_r/V_\textrm{вр} \simeq (1 + \mu)/2$ (см. гл. 3 и рис. 3.20). Поэтому может оказаться, что дестабилизирующая (по отношению к крупномасштабным изгибным возмущениям) роль массивного гало не проявится. Исследуем этот вопрос подробнее [56, 57, 627].

Предположим, что звездный диск обладает запасом гравитационной устойчивости $Q_*$, который мы определим как отношение наблюдаемой $c_r$ к получаемой в численных экспериментах $c_{re}$ (полагаем, что $c_{re}$ соответствует границе гравитационной устойчивости). Тогда везде за пределами центральной части диска

$${c_r \o V_\textrm{вр}} \simeq {Q_* \o 2\,(1 + \mu)}\,. %\eqno(2.5.24)$$ (2.155)

С другой стороны, в рамках исследованной Поляченко и Шухманом [173] модели в плоскости $z=0$ [см. (2.154)] имеем

$${c_r \o V_\textrm{вр}} \simeq {1 \o \sqrt 2 \,\gamma\,x}\left[(1 - \gamma^2) (1 - x^2)\right]^{1/2}, %\eqno(2.5.25)$$ (2.156)

где $x = r/a$. Сравнивая эти выражения, получим

$$Q_* \simeq \left\{2\,(1 + \mu)^2\left({1 - x^2 \o x^2}\right)\left({1 - \gamma^2 \o \gamma^2}\right)\right\}^{1/2}.$$ (2.157)

Состояние с $Q_* = 1$ физически выделено -- оно соответствует границе гравитационной устойчивости. Предположим теперь, что диск находится в состоянии, соответствующем наивысшей точке границы неустойчивости по отношению к самой опасной (при $\mu \,\gee\, 1$) изгибной моде $m=2$. Это означает, что $\gamma^2 = \gamma^2_*(\mu)$ (см. рис. 2.9), и тогда согласно (2.157) $Q_*(\mu,x,\gamma) = \hat Q_*(\mu,x)$. Результат вычисления этой величины может быть как больше, так и меньше единицы. Пусть, например, $\hat Q_*(\gamma^2_*,x) > 1$. Чтобы понять, что это означает, заметим, что определяемая (2.157) величина $Q_*(\gamma,\mu,x)$ при фиксированных $\mu$, $x$ является монотонно убывающей функцией параметра $\gamma$: $(\Vert Q_*/\Vert\gamma)_{\mu,x} < 0$. Тогда в галактиках с $Q_* \simeq 1$ будет, очевидно, $\gamma^2 > \gamma^2_*$. И наоборот, если $\hat Q_* <1$, то в дисках галактик с $Q_* \simeq 1$ будет $\gamma^2 > \gamma^2_*$. В первом случае диск будет обладать некоторым запасом устойчивости по отношению к самой опасной изгибной моде $m=2$, во втором -- неустойчив относительно этой моды. Таким образом, если в результате вычислений окажется $\hat Q_*(\gamma^2_*(\mu),x) > 1$, то неустойчивость изгибных мод маргинально гравитационно устойчивого диска подавлена.

Figure: =10000 Изолинии параметра в плоскости $x = r/a$; $\mu = M_h/M_d$. В области $\hat Q_* > 1$ наиболее опасная изгибная мода $m=2$ (``седло'') устойчива

=0.5

Результаты вычислений величины $\hat Q_*(\gamma^2_*(\mu),x)$ приведены на рис. 2.10 [заметим, что в рамках рассматриваемой модели параметр $\gamma^2_*(\mu)$ (см. рис. 2.9) выходит при $\mu \gg 1$ на асимптотическое значение $\gamma^2_* = 0,\!96$]. Видно, что неустойчивыми оказываются только периферийные области систем с малым $\mu$. В системах же с $\mu \gg 1$ крупномасштабные изгибные моды оказываются застабилизированными [области, близкие к периферии эллипсоида ( $\!x \gee 0,\!9\!$), не изучались, поскольку в рамках рассматриваемой модели в противоречие с данными наблюдений они слишком холодны: при ]. Таким образом, следует ожидать, что в галактиках с достаточно массивным гало неустойчивость крупномасштабных изгибных мод не будет проявляться. =0.953

2.6 Особенности формы кривых вращения галактик,
наблюдаемых с ребра

Рассмотрим некоторые особенности кинематики галактик, наблюдаемых с ребра (edge-on), с учетом влияния эффектов проекции, внутреннего поглощения и дисперсии скоростей газа или звезд на измеряемую кривую вращения галактик.

2.6.1 Постановка вопроса

Для спиральных галактик, диски которых наблюдаются с ребра, вопрос о построении кривой вращения является нетривиальным из-за двух осложняющих факторов: эффекта проекции и эффекта внутреннего поглощения. Оба эффекта зависят как от формы кривой вращения, так и от распределения источников излучения и поглощающей среды в галактике. Отличительной особенностью кривых вращения, а точнее -- одномерных распределений лучевой скорости по диску, является протяженная область ``твердотельного'' вращения (монотонного роста скорости). Почти линейный рост лучевой скорости до больших расстояний от центра отмечался еще в первых работах по определению кинематики галактик с тонкими дисками [445]. Эти авторы, по-видимому, первыми обратили внимание на то, что твердотельная часть кривой вращения в галактиках, видимых с ребра, может являться артефактом, и что эффекты неоднородного распределения пыли требуют проведения огибающей линии, ограничивающей сверху положение точек на диаграмме ``радиус - измеренная скорость вращения''.

Позднее проведенное сравнение формы кривой вращения во внутренней области галактик со степенью наклона диска к лучу зрения показало, что градиент измеряемой скорости вращения во внутренней области галактики действительно ниже у сильно наклоненных дисков, и этот эффект сильнее проявляется для галактик высокой светимости, обладающих в среднем более сильным внутреннем поглощением [444].

Figure: Примеры наблюдаемых кривых вращения для галактик, видимых с ребра: а -- типичный вид кривых вращения; б -- примеры галактик со ``ступенькой'' на кривой вращения; в -- примеры галактик с сильно различающимися распределениями измеренных скоростей по разные стороны от центра. Черные кружки соответствуют удаляющейся стороне галактики, светлые -- приближающейся (по работам [72, 105, 106]). Указан номер галактики в каталоге FGC [531]

=0.998

Более 300 кривых вращения для галактик, наблюдаемых с ребра (из каталога плоских галактик FGC [531]), было получено на 6-м телескопе САО РАН (см. [599] и ссылки в этой работе). Результаты измерений подтвердили, что подавляющее большинство этих галактик имеют очень протяженный ``твердотельный'' участок, иногда простирающийся до внешней границы измеряемой кривой, хотя имеются и исключения [104, 105, 106]. Как пример, на рис. 2.11$\!$a показано несколько достаточно типичных кривых вращения для галактик по работе [105]. Рисунки 2.11$\!$б,$\!$в иллюстрируют более редко встречающиеся особенности кривых, которые обсуждаются ниже (в п. 2.6.4). В связи с интерпретацией кривых вращения возникает вопрос -- как влияют различные эффекты на измеряемые скорости вращения таких галактик, и можно ли непосредственно из наблюдений получить действительную кривую вращения галактики и оценку максимальной скорости вращения дисков? Для осесимметричных моделей галактик с заданными кривыми вращения рассчитаем распределения лучевой скорости $V_s(x)$ вдоль большой оси диска, видимого с ребра, следуя [64].

2.6.2 Модели без поглощения

Случай с малым внутренним поглощением может реально относиться к измерениям скорости вращения в радиодиапазоне, либо в галактиках с очень низким содержанием межзвездной среды, либо же к измерениям скоростей внешней зоны с низкой оптической толщиной $\tau$.

При отсутствии внутреннего поглощения максимальные значения допплеровского компонента скорости вращения относятся к областям, находящимся на диаметре галактики, перпендикулярном лучу зрения (условно будем называть его большой осью галактики). Поэтому оценки максимальной скорости источников на данном расстоянии от центра должны представлять собой (с точностью до значения дисперсии скоростей) действительную скорость кругового вращения. Однако это значение скорости в общем случае не обязательно будет соответствовать центру тяжести (барицентру) профиля линии, поскольку его положение зависит от распределения не только скорости, но и объемной светимости вдоль луча зрения.

Figure: =10000  а) к вопросу об определении скорости вращения диска с радиусом $R$, наблюдаемого с ребра. В точке $A=(x,y)$ диск имеет скорость вращения $V_\varphi$. Интегрирование проводится от $-y_0$ до $y_0$;  б) три типа рассмотренных кривых вращения $V_\varphi$; в) распределение лучевой скорости относительно центра галактики вдоль ее большой оси $V_s(x)$ для кривых вращения, показанных на рис. 2.12$\!$б, без учета внутреннего поглощения

=0.999

Будем считать, что скорость вращения диска, как и его яркость в спектральной линии, используемой для измерения скоростей, распределены осесимметрично. Обозначим объемную светимость в линии через $S(r)$. Пусть ось $x$ соответствует большой оси галактики, а ось $y$ направлена вдоль луча зрения (рис. 2.12$\!$а). Тогда средняя скорость, взвешенная по удельной светимости вдоль луча зрения, определяется выражением

$$V_s(x) = {\Oo\int_{-y_0}^{y_0}S(r)\, V_\varphi(r)\,{\Oo x\... ...sqrt{\Oo x^2+y^2}}\,dy\o \Oo\int_{-y_0}^{y_0}\, S(r)\,dy} \,,$$ (2.158)

здесь $R$ -- радиус диска, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, а предел интегрирования $y_0=\sqrt{R^2-x^2}$. Ввиду осевой симметрии моделей ниже будем считать расстояние от центра диска в проекции $x$ всегда положительным.

Запишем также формулы для наблюдаемой вдоль луча зрения дисперсии скоростей. При больших значениях угла наклона галактики $i$ ( $\!i\rightarrow 90^\circ\!$) помимо эффекта, связанного с интегрированием вдоль луча зрения, что дает:

$$c_\ell = \frac{\Oo\int_{-y_0}^{y_0} \sqrt{c_r^2\sin^2\v... ...,\,\varrho(r)\,dy}{\Oo\int_{-y_0}^{y_0}\varrho(r) \,dy} \,,$$ (2.159)

имеется второй фактор, связанный с влиянием пространственной неоднородности скорости вращения:

$$c_V^2 = \frac{\Oo\int_{-y_0}^{y_0} (V_s(r) - V_y)^2 \,\,\varrho(r)\,dy}{\Oo\int_{-y_0}^{y_0}\varrho(r) \,dy} \,,$$ (2.160)

где $V_y$ -- проекция скорости на ось $y$ в точке $(x,y)$ (см. рис. 2.12$\!$а).

Рассмотрим, как действительная форма кривой вращения $V_\varphi (r)$ и особенности распределения вещества в диске влияют на зависимость $V_s(x)$ (наблюдаемую кривую вращения).

Пусть объемная светимость диска в линии $S(r)$, по которой оценивается скорость, уменьшается с $r$ по экспоненциальному закону $S(r) = ~S_0\cdot~\exp(-r/L)$, где $L$ -- радиальная шкала изменения яркости диска в эмиссионной линии, а в случае определения скоростей по абсорбционным линиям -- радиальная шкала звездного диска. Примем для определенности $R = 4L$. На расстояниях $r>R$ вклад диска в наблюдаемый профиль линии будем считать равным нулю. Для иллюстрации ограничимся рассмотрением трех типов кривых вращения, формы которых различаются во внутренней области диска ($\!r\lee 2L\!$) (рис. 2.12$\!$б):

1) Кривая вращения $V_{\varphi\, 1}$, характерная для галактик без массивного балджа (точечная линия на рис. 2.12$\!$б).

2) Кривая второго типа $V_{\varphi\, 2}$, реализующаяся в случае маломассивного балджа, ответственного за более крутой градиент скорости во внутренней области галактики (штриховая линия на рис. 2.12$\!$б). Область ``твердотельного'' вращения мала.

3) Кривая $V_{\varphi\, 3}$ с околоядерным максимумом скорости вращения (сплошная линия на рис. 2.12$\!$б), который отражает существование массивного концентрированного балджа.

Во всех случаях кривая вращения выходит на плато на больших $r$. На рис. 2.12$\!$в изображены радиальные зависимости скорости диска вдоль луча зрения $V_s(x)$, вычисленные по формуле (2.158), для трех рассматриваемых типов кривых вращения при отсутствии поглощения. Как видим, во всех случаях во всем диске наблюдается значительная недооценка скорости вращения, особенно в центральной области. При этом различие между 2-м и 3-м типами кривых практически исчезает, а недооценка скорости вращения оказывается наибольшей для кривой вращения $V_{\varphi 3}$. Только на самом краю диска имеет место примерное равенство $V_s\simeq V_\varphi$. Поскольку кривые изменения скорости $V_s(x)$ очень слабо зависят от реальной формы кривой вращения $V_\varphi (r)$, они не позволяют восстановить распределение массы в галактике [64].

2.6.3 Модели с поглощением света

=1.05

При прохождении излучения сквозь вещество диска вклад от более далеких областей галактики оказывается меньшим, чем от расположенных ближе к наблюдателю. Для света, распространяющегося в диске под малым углом к его плоскости, галактики, содержащие пыль, практически непрозрачны. Поэтому можно считать, что от наиболее удаленной зоны излучение не доходит до наблюдателя. Излучение средней области, на которую приходятся максимальные значения проекции скорости вращения на луч зрения, существенно ослаблено, причем чем ближе к центру системы, тем сильнее влияние поглощения. В результате в центральной области галактики $x\lee R/2$ основной вклад в излучение дает ближайшая зона, в которой скорость вдоль луча зрения невелика. С учетом поглощения выражение (2.158) принимает вид:

$$V_s(x) = {\Oo\int_{-y_0}^{y_0}S(r)\,exp(-\tau(x,y))\, V_\... ...2}}\,dy\o \Oo\int_{-y_0}^{y_0}S(r)\,exp(-\tau(x,y))\,dy} \,,$$ (2.161)

где величина $\tau(x,y)$, характеризующая оптическую толщину в расчете на отрезок единичной длины в плоскости диска, определяется функцией распределения пыли $f_{dust}(x,y)$:

$$\tau= \int_{y_0}^{y} f_{dust}\left( x, \xi\right)\,d\xi \,,$$ (2.162)

здесь $\xi$ -- координата в направлении $y$.

Ограничимся осесимметричным экспоненциальным распределением пыли

$$f_{dust}(x,\xi) = \alpha_d \cdot \exp \left( -\,{\sqrt{x^2+\xi^2}\o L_d } \right) \,,$$ (2.163)

где $L_d$ -- радиальная шкала распределения поглощающей среды, а $\alpha_d$ -- нормировочный параметр. Следуя распределению плотности пыли, функция $\tau$ убывает с расстоянием от центра и обращается в ноль на $r = R$. Определим параметр $\tau_0(x)$ как оптическую толщину в расчете на единицу длины (1 кпк) на большой оси галактики на расстоянии $r=x$ от центра. Эта величина, будучи пропорциональной $f_{dust}$, отражает плотность поглощающей среды на данном расстоянии $x$. Варьирование параметра $\alpha_d$ в пределах от 0 до 6 соответствует изменению оптической толщины $\tau _0$ на расстоянии $x=3$ кпк от 0 до 2,2 кпк$^{-1}$. Степень непрозрачности, выраженная в единицах $\tau$ кпк$^{-1}$, примерно соответствует ослаблению в звездных величинах на 1 кпк.

Figure: =10000 Расчет распределения лучевой скорости $V_s(x)$ с учетом поглощения для радиальной шкалы распределения пыли  кпк:  а) зависимости $V_{\varphi }(r)$ (модель без балджа) и $V_s(x)$ при различных значениях оптической толщины на $r= 3$ кпк: $\tau _0=0$ (кривая 1), $\tau_0=0,\!37$ кпк$^{-1}$ (кривая 2), $\tau_0=0,\!73$ кпк$^{-1}$ (кривая 3),  кпк$^{-1}$ (кривая 4),  кпк$^{-1}$ (кривая 5); б) - то же - для кривой вращения 3-го типа (см. рис. 2.12. б)

=0.999

На рис. 2.13 показаны результаты расчетов по формуле (2.161) с учетом (2.162), (2.163) для радиальных шкал распределения яркости эмиссии и плотности пыли $L=3$ кпк и $L_d=3$ кпк соответственно, при различных значениях параметра $\tau _0$. Во всех случаях поглощение сильно уменьшает скорость $V_s(x)$ -- за исключением внешней, относительно прозрачной, области галактики. Вследствие этого происходит ``спрямление'' наблюдаемой кривой вращения, так что в сильно запыленном диске практически линейный рост $V_s(x)$ может прослеживаться вплоть до внешней границы диска независимо от реальной формы кривой вращения (см. рис. 2.13). Наличие ``кольца'' и центральной ``дыры'' в распределении газа еще более усиливают указанную особенность хода кривой $V_s(x)$ в моделях с поглощением [64].

2.6.4 Влияние хаотических движений

В рассмотренных выше моделях считалось, что дисперсия скоростей источников излучения равна нулю, имеется только регулярное вращение. Учтем теперь остаточные скорости, которые будем характеризовать значениями дисперсии радиальных $c_r$ и азимутальных $c_\varphi$ скоростей. Если кривая вращения оценивается по звездным спектрам, то в соответствии с наблюдениями (см., например, [321]) можно считать, что как $c_r$, так и $c_\varphi$ уменьшаются с удалением от центра. Для $c_r$ примем простое выражение $c_r=c_{r0} \exp(-r/L_c)$. Радиальная шкала дисперсии скоростей $L_c$, как правило, существенно превышает шкалу изменения плотности $L$ [111]. Функцию распределения по скоростям выберем в виде (см. (3.16))

$$F(v_r,v_\varphi)=F_0\cdot \exp\Bigg\{ -{(V_\varphi-v_\varphi)^2\o 2c_\varphi^2} - {v_r^2\o 2c_r^2} \Bigg\}\,,$$ (2.164)

$c_r, c_\varphi$ -- дисперсии скоростей соответственно для случайных компонент скорости $v_r$ и $v_\varphi$. Профиль спектральной линии, отражающий изменение скорости вдоль луча зрения, при фиксированном значении наблюдаемого расстояния от центра диска галактики $x$ будет определяться выражением:

$$I(v_y,x) = I_0 \int_{-y_0}^{y_0} S(x,y) \, \exp(-\tau)\, F(x,y,v_y)\, dy \,,$$ (2.165)

где $I_0$ - нормировочная постоянная, а $\tau$ определяется интегралом (2.162).

Figure: =10000 а) - профили спектральной линии $I(V)$ для различных расстояний от центра галактики для модели газового диска с дисперсией скоростей $c_r(0)=15$ км/с и радиальной шкалой $L_c=9$ кпк (без учета поглощения). Функции $I(V)$ нормированы произвольно. Диск разбит на 12 зон, числа указывают номер зоны в порядке удаления от центра диска; б) - то же - для модели сильнозапыленного диска с  кпк$^{-1}$; в) - то же - для модели звездного диска с $c_r(0)=100$ км/с, $L_c=3$ кпк без поглощения; г) - то же - для модели сильнозапыленного звездного диска с  кпк$^{-1}$

=0.998

Рассмотрим отдельно влияние описанных выше факторов на наблюдаемые кривые вращения динамически горячей (звездный диск) и холодной (газовый диск) подсистем для галактик, наблюдаемых с ребра. Для газового диска $c_r/V^{max}\ll 1$ ($V^{max}$ -- максимальная скорость вращения), и распределение скоростей является изотропным ( $\!c_r=c_\varphi\!$). На рис. 2.14 показаны профили скорости (допплеровские профили линии) $I(V)~ = ~I(v_y,x)$ на различных расстояниях $x$ от центра диска. В отсутствии пыли (рис. 2.14$\!$а) профили сильно различаются для различных значений $x$. При этом характерной особенностью профилей является их асимметрия, а для центральной области (кривые 1-3 на рис. 2.14$\!$а) -- наличие двух максимумов или длинного крыла со ``ступенькой'' вместо второго максимума (кривые 4-7). Первый максимум (на больших скоростях) обусловлен быстрым вращением вещества в области вблизи ``большой оси'' (см. рис. 2.12$\!$а). Второй максимум или ``ступенька'' (в области меньших скоростей) связаны с двумя факторами: с наличием остаточных скоростей, но в большей степени с сильным уменьшением проекции $V_\varphi$ на луч зрения при $\vert \varphi \vert > \pi/4$.

В сильнозапыленном диске ситуация качественно меняется (рисунок 2.14$\!$б). Все профили $I(V)$ в центральной области обладают только одним максимумом (из двух максимумов, имевших место в предыдущем случае, остается лишь соответствующий более низкой скорости). Максимум на более высокой скорости возникает лишь в том случае, когда поглощение достаточно мало, чтобы позволить наблюдать области вблизи большой оси на данном расстоянии $x$.

Для звездного диска дисперсия скоростей выше, чем для газа. Для осесимметричной модели справедливо соотношение (2.34). В случае звездного диска с дисперсией радиальных скоростей звезд в центре $c_r(0)/V_{\max}=0,5$ распределения $I(V)$ (где $I(V)$ берется по модулю, поскольку речь идет об абсорбционных линиях) приведены на рис. 2.14$\!$в,г. И в этом случае, как и в случае эмиссионного газа, при наличии поглощения максимальные значения $I(V)$ смещаются в область меньших скоростей.

Figure: Заданная кривая вращения галактики ($V_\varphi (r)$, кривая 1) в сравнении с ``измеряемыми'' скоростями вращения $V_s(x)$, построенными по максимумам функции $I(V)$ (см. текст) для следующих моделей: 2 -- модель газового диска без поглощения; 3 -- модель звездного диска без поглощения; 4 -- модель газового диска c сильным поглощением ( $\!\tau_0=2,\!2$ кпк$^{-1}\!$); 5 -- модель звездного диска с сильным поглощением ( $\!\tau_0=2,\!2$ кпк$^{-1}\!$); 6 -- модель газового диска со слабым поглощением ( $\!\tau_0=0,\!73$ кпк$^{-1}\!$). Во всех случаях радиальная шкала распределения газа и пыли принята равной 3 кпк, а величина $\tau _0$ относится к 3 кпк

=0.48

Сложная форма профилей линии приводит к различию в оценках лучевой скорости по измерению длин волн, соответствующих максимуму интенсивности, и длин волн барицентра линии. На рис. 2.15 показаны зависимости $V_\varphi (r)$ и $V_s(x)$, построенные по положению максимумов у профилей $I(V)$, приведенных на рис. 2.14. В соответствии со сказанным выше, при наличии двух максимумов выбирался тот, который связан с более высокой скоростью. В модели для газового диска без поглощения (рис. 2.14$\!$а) при таком способе оценки скорости различие между реальной скоростью вращения $V_\varphi$ и $V_s(x)$ (кривая  1 и  2 на рис. 2.15)) оказывается малой, и для рассматриваемого случая не превышает 7 % (см. рис. 2.15).

Для звездного населения с большой дисперсией скоростей $c_r(0)/V_{max}=0,\!5$ разность $V_\varphi-V_s(x)$ существенно выше, однако и в этом случае наличие внутреннего максимума на кривой вращения хорошо прослеживается (кривая 3), хотя его амплитуда заметно меньше.

=1 Таким образом, подход, основанный на определении максимума $\!I(V)\!$, дает более правильный результат при построении кривой вращения, чем рассмотренный в п. $\!$2.6.3 способ средневзвешенного значения лучевой скорости, определяемой по барицентру спектральной линии. К сожалению, в реальных галактиках профили линии могут быть искажены неоднородным распределением эмиссионных областей и поглощающей среды. Однако асимметрия профиля, если таковая присутствует, вполне может быть измерена и принята во внимание при оценке скорости.

В сильно запыленном диске и для газового и для звездного населения зависимости $V_s(x)$, найденные двумя методами, мало различаются (кривые 4 и 5 на рис. 2.15). В обоих случаях получаемая кривая $V_s(x)$ не дает правильного представления о форме действительной кривой вращения во внутренней области диска.

Наиболее интересен промежуточный случай, когда в центральной области галактики поглощение сильно (профиль линии имеет только один максимум -- на малых скоростях), а, начиная с некоторого значения $x$, существенный вклад в излучение дают области вблизи большой оси, ответственные за появление максимума с высоким значением лучевой скорости. В этом случае кривая вращения, построенная по положению максимумов в профилях линии, обнаруживает резкий ``скачок'' -- от скоростей, существенно меньших скорости вращения, к скоростям, близким к последней (кривая 6 на рис. 2.15). Чем меньше поглощение в галактике, тем ближе к центру осуществляется этот переход. Варьируя значения $\tau _0$, можно получить, что подъем измеряемой скорости вращения происходит на таком радиусе $r$, на котором поглощение падает ниже $0,\!3-0,\!5$ зв. величины на кпк. Заметим, что подобная ступенька на кривой вращения действительно наблюдается у ряда галактик, видимых с ребра (см. пример на рис. 2.11$\!$б).

Заметим, что в некоторых галактиках, наблюдаемых с ребра, кривые изменения лучевых скоростей $V_s(x)\!$, в отличие от ожидаемого, не демонстрируют твердотельного вращения. В этих галактиках центральная область отличается высоким градиентом лучевой скорости (см. рис. 2.11$\!$в). Такое поведение указывает либо на очень низкое содержание пыли в галактике, либо (что более вероятно) на существенное отличие угла наклона диска от $i = 90^\circ$. Отличия на несколько градусов может быть достаточно, чтобы эффекты проекции и внутреннего поглощения стали несущественными (точная оценка угла, при котором это имеет место, зависит от толщины диска и пространственного распределения как источников, так и поглощающей среды). Отметим, что влияние эффекта проекции зависит не только от угла наклона диска $i$, но и от ширины щели спектрографа. Так, если щель ориентирована вдоль большой оси галактики и ее ширина сопоставима с видимой толщиной диска (точнее - с размером малой оси эллипса, который ограничивает измеряемую область диска), то диск будет восприниматься как наблюдаемый с ребра, даже если угол его наклона отличается от $90^\circ$.

Расчеты, описанные здесь, относятся к кривой вращения $V_{\varphi\, 3}$ (см. рис. 2.12$\!$б). Для случаев $V_{\varphi\, 2}$ или $V_{\varphi\, 1}$ основные выводы сохраняют свою силу.

2.6.5 Модели с неоднородным распределением пыли

Как показывают наблюдения, распределение пыли по диску галактик часто носит сильно несимметричный и неоднородный характер на мелких масштабах (). Для иллюстрации рассмотрим модель, в которой поглощающие области распределены ``пятнами'', раскиданными случайным образом по диску. Концентрация пыли в $i$-м облаке ( $\!i=1, ..., m\!$) с координатами центра $(x_d^{(i)},y_d^{(i)})$ будем характеризовать величиной $\tau^{(i)}\!\!$, которая подчиняется закону (2.163). Размеры облаков $l_d^{(i)}$ в рассматриваемой модели задавались случайно из интервала $0,\!1 L\le l_d^{(i)}\le 0,\!5 L$.

Figure: =10000 Радиальные зависимости действительной скорости вращения для модельной галактики ($V_\varphi$, кривая 1) и ``измеряемых'' значений скорости для галактики, видимой ``с ребра'' (то же, что и на рис. 2.15) для следующих моделей: 2 -- газовый диск с сильным поглощением и ``гладким'' распределением пыли; 3 и 4 -- диск с теми же параметрами и хаотическим распределением поглощающих областей для двух сторон диска; 5 -- аппроксимационная кривая

=0.49

На рис. 2.16 показана радиальная зависимость скорости $V_s(x)$ в модели с $m=50$, (кривые  3 и  4). Очевидно, что разброс точек или неровная форма кривой $V_s(x)$, несимметричной относительно центра галактики, является результатом существования случайно расположенных коридоров прозрачности, позволяющих на некоторых направлениях наблюдать области в глубине диска. Амплитуда вариации скорости может быть значительной, и для получения кривой вращения следует провести верхнюю огибающую точек на диаграмме $V_s(x)$, но и в этом случае форма кривой может быть прослежена лишь приблизительно [445]. Если средняя плотность пыли достаточно мала, так что мы наблюдаем на различных расстояниях $x$ области, лежащие вблизи большой оси, то такая процедура действительно дает возможность получить кривую вращения. Однако это скорее относится к внешним областям галактики, где $\tau _0$ мало. В рассматриваемой модели даже огибающая точек на диаграмме $V_s - r$ (штриховая линия на рис. 2.16) оказывается далекой от заданной формы кривой вращения.

Другой эффект, создаваемый неоднородностью в распределении пыли, естественно ожидать для галактик с развитой спиральной структурой. Определенная ориентация спиральных ветвей, к которым концентрируется межзвездная среда, приводит к различной прозрачности диска по разные стороны от центра. Там, где спиральная ветвь находится на стороне галактики, обращенной к наблюдателю, луч зрения проникает в диск на меньшую глубину, что уменьшает оценку скорости вращения. Это приводит к тому, что измеряемые кривые $V_s(x)$ оказываются несимметричными относительно центра. Подобные случаи действительно наблюдаются (см. рис. 2.11$\!$в). Более близкой к действительной форме кривой вращения следует считать кривую, проведенную по более высоким значениям измеренных скоростей [64].

Заметим, что все наблюдаемые кривые вращения (зависимости $V_s(x))$ на больших $x$ выходят на ``плато'', соответствующее заданной скорости вращения модельной галактики. Следовательно, измеряемые максимальные скорости вращения дисков, наблюдаемых с ребра, должны мало отличаться от действительных.

<< 1. Данные наблюдений 3. Численное моделиpование звездных >>